Spectrométrie par transformée de Fourier

Spectrométrie par transformée de Fourier

On va montrer que l’interférogramme obtenu à l’aide d’un interféromètre de Michelson permet, par transformée de Fourier, d’obtenir le profil de la raie source.

1. L’interféromètre de Michelson :

La lame séparatrice sépare le faisceau incident en deux parties : Un faisceau de référence par le miroir M1 et un autre par le miroir M2.

source

M₂ a b

c M₁

i

Si les amplitudes des deux faisceaux sont les mêmes et égales à A0 :

AM₁= A₀ AM₂ = A₀ e^iφ

⎫

⎬⎪

⎭⎪A_T = A₀ + A₀ e^iφ

I P( ) = A_T( ) AP _T^*( ) = 2 IP ₀ (1 + cosφ)

avec ^{φ= 4πn e cos i( )}

λ₀ e = ab-ac , i=0

x = 0 : pas de déphasage entre les deux ondes.

e = x : ^{I P( ) = 2 I}0 1 + cos 4πx λ₀

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

I ^max pour x=0 I ^min pour ^4πλ₀^x = π

2 → x = λ₀ 2

2. La source est constituée de deux raies infiniment fines de même intensité et de nombres d’ondes ^σ1 et ^σ2 :

I= 2 I₀(2 + cos 2π ν( ₁δ) + cos 2( π ν₂δ))

I= 4 I₀⎛1 + cos 2π ν( ( ₁ −ν₂)δ)cos 2( π ν( ₁ +ν₂)δ)

⎝ ⎞

⎠ φ= kδ= 2π

λ δ= 2π ν c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟δ= 2π ν δ c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ or _c^δ=τ

Généralement ^ν1≈ν₂ ≈ν₀

I= 4 I₀(1 + cos 2π Δν( ( )δ)cos 2( π(2ν₀)δ))

I_max = 4 I₀ 1 + cos π τ τ_c

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ avec ^τ_c^{= 1}

Δν

I_min = 4 I₀ 1−cos π τ τ_c

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

I x( ) = 4 I₀ 1 + cos π Δν2x c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟cos 4π ν₀ x c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

ν₀ = c λ₀ = cσ₀ Δν= cΔσ

I x( ) = 4 I₀(1+ cos(π Δσ2x)cos 4( π σ₀ x))

Entre deux valeurs successives de chemin optique pour lesquelles ^{γ= 0} :

Δδ=δ_c= cτ_c= λ₀²

Δλ puisque ^δ=δc m +1 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Pour caractériser les deux raies on cherche : ^Δλ=λ2 −λ₁

En déterminant p : le nombre de interfranges contenus dans un lobe on aura :

δ_c= pλ₀ = λ₀² Δλ

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ → Δλ= λ₀² pλ₀ = λ₀

p Δλ=λ₂ −λ₁= λ₀

p

λ₀ étant donné :

λ₁=λ₀−λ₀ p λ₂ =λ₀ +λ₀

p

3. On suppose maintenant que la raie source à un profil en nombre d’ondes ^{g( )σ} , que l’on supposera symétrique.

I= 2 g( )σ

−∞

+∞

∫

⎣ ⎤

⎦dσ

I= 2 g( )σ

−∞

+∞

∫

−∞

+∞

∫

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

On pose : ^g( )^σ

−∞

+∞

∫

I= 2 I₀ 1+ 1 I₀ g( )σ

−∞

+∞

∫

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

On pose : ^G( ) =^σ' g( )σ

I₀ , ^{σ'=σ −σ}0

G( )σ' : densité spectrale normalisé et centrée (réelle).

I= 2 I₀ 1 + R e e^{−i2π σ0δ} G( )σ'

−∞

+∞

∫

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ I= 2 I₀ ⎡1+ R e e{ ^{−i2π σ0δ} γ}

⎣⎢

⎤

⎦⎥

γ : complexe, ^{γ= γeiα}

I= 2 I₀ 1+ R e⎧γe^{−i 2( π σ0δ −α)}

⎨⎩

⎫⎬

⎭

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

avec ^{γ= G}( )^σ'

−∞

+∞

∫

L’intensité comporte à la fois :

 Un fond continu : 2 I0

 Une partie reliée à la TF de ^{g( )σ} : ^{γ= G}( )^σ'

−∞

+∞

∫

Si ^{g( )σ} est gaussienne :

g( ) = A eσ

−(σ −σ₀)² 2σ₁²

g( )σ

−∞

+∞

∫

1

e

−σ'² 2σ₁²

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

G( )σ' : densité spectrale normalisée centrée

I= 2 I₀ 1 + R e e^{−i 2π σ( 0δ −α)}

−∞

+∞

∫

1

e

−σ'² 2σ₁²

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

e^{−i2π σ'δ}dσ'

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎥

J=

−∞

+∞

∫

1

e

−σ'² 2σ₁²

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

e^{−i2π σ'δ} dσ'

J= e^{−2π2σ12δ2}

2π σ₁ 2 σ₁ e^−u2

−∞

+∞

∫

J= e^{−2π2σ12δ2}

I= 2 I₀ 1+ R e ⎧e^{−i 2π σ( 0δ)}e^{−2π2σ12δ2}

⎨⎩

⎫⎬

⎭

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ I= 2 I₀ ⎡1 + e^{−2π2σ12δ2}cos 2π σ( ₀δ)

⎣⎢

⎤

⎦⎥

I= 2 I₀ 1 + cos 2π σ( ₀δ( )x ) e^{−2π2σ12δ( )x}

⎡ 2

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥ δ( ) = 2xx

4. Largeur :

La largeur est celle de la Gaussienne :

G( ) = eδ ^{−2π2σ12δ2( )x} G 0( ) = 1

On cherche ^G( ) =^δ 1

2 : ^{e−2π2σ12δ2( )x} = 1 2

→ Δδ= ln 2( ) 2π σ₁

La largeur à mi-hauteur de la gaussienne complète est ₂^Δδ.

On revient à

g( ) = A eσ

−(σ −σ₀)² σ₁

2σ₁= 2 ln 2( ( ))

1

2 = LTMH g⎡ ( )σ

⎣ ⎤

⎦

LTMH : Largeur Totale à Mi Hauteur

σ₁= LTMH g⎡ ( )σ

⎣ ⎤

⎦ 2 2 ln 2( ( ))

1 2

En remplaçant ^σ1 dans l’expression de ^Δδ, on a : ()Ix

02I

()xδ

Δδ= ln 2( ) 2π

LTMH g⎡ ( )σ

⎣ ⎤

⎦ 2 2 ln 2( ( ))

1 2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

Δδ= 2 ln 2( ) πLTMH g⎡ ( )σ

⎣ ⎤

⎦ LTMH g⎡ ( )σ

⎣ ⎤

⎦= ln 2( ) πx

HP : _x= 3.10⁻³m ( 1^er déplacement) BP : _x= 3.10⁻²m