DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE
Transformée de Fourier-Plancherel
1Leçons : 207, 234, 235, 240,201,202,208,241
[Far], section IX.2 [Rud], lemme 4.16 Théorème
Soit f ∈L1∩L2. On rappelle que∀x ∈R,bf(x) =
Z
R f(t)e−ixtdt.
Alors bf ∈L2etkfk2 = √1 2π
bf
2. Démonstration :
Étape 1 : On définit ef :x → f(−x)etg= f ?ef. Ainsi,∀x∈R,g(x) =
Z
R f(y)ef(x−y)dy= Z
Rf(x+y)f(y)dyetg(0) = Z
R|f(y)|2dy=kfk22. On a :∀x∈R,bef(x) =
Z
Rf(−t)e−ixtdt= Z
Rf(u)e−ixudu= bf(x)etgb= [f?fe= bfbef =bf
2
. Par inégalité de Young2, comme f,ef ∈L1, alorsg∈L1etkgk16kfk1ef
1.
Et par propriété de régularisation3, comme f,fe∈L2, alorsg∈ C0etkgk∞6kfk2fe 2. Étape 2 : Introduisons une partition de l’unité.
On pose, pourn∈N∗ett∈R:Φn(t) =e−|nt|; pourx∈R:
ϕn(x) = 1
2πΦcn(x) = 1 2π
Z
Re−|nt|−ixtdt= 1 2π
Z
R−ent−ixtdt+ 1 2π
Z
R+e−nt−ixtdt
= 1 2π
1
1
n−ix − 1
−1n−ix
!
= n 2π
1
1−inx+ 1 1+inx
= 1 π
n 1+n2x2
Or(ϕn?g) (0) = Z
Rϕn(y)g(−y)dy= 1 2π
Z
R Z
RΦn(t)e−iytdtg(−y)dy.
On va utiliser Fubini car Z
R Z
R|Φn(t)|e−iyt
dt|g(−y)|dy=kΦnk1kgk1<+∞: (ϕn?g) (0) = 1
2π Z
RΦn(t) Z
Re−iytg(−y)dydt= 1 2π
Z
RΦn(t)gb(t)dt= 1 2π
Z
RΦn(t)bf(t)2 dt Étape 3 : Montrons que lim
n→∞(ϕn?g) (0) =g(0).
Soitε>0, commegest continue :∃η>0,∀x∈R,|x|<η⇒ |g(x)−g(0)|<ε.
Ainsi :
|(ϕn?g) (0)−g(0)|= Z
Rϕn(y)g(−y)dy− Z
Rϕn(y)g(0)dy
6 Z η
−η
ϕn(y)|g(−y)−g(0)|dy
| {z }
6ε
+ Z
|y|>ηϕn(y)|g(−y)−g(0)|dy
| {z }
62kgk∞R
|y|>ηϕn(y)dy−→
n→∞0
Donc pournassez grand,|(ϕn?g) (0)−g(0)|62ε.
1. On n’hésitera pas à sauter les calculs qui donnentϕn(x); on admettra l’inversion de la transformée de Fourier dansS(R), et la densité de L1∩L2dans L2(sauf dans la 235).
2. Inégalité de Young : Soientp,q∈ [1,+∞], tels que1p+1q >1. Soitrvérifiant 1+1r = 1p+1q. Si f ∈Lpetg∈Lq, alors f?g∈Lretkf?gkr6kfkpkgkq.
3. Soientp,p0∈[1,+∞]deux exposants conjugués. Sif ∈Lpetg∈Lp0, alors f?gest uniformément continue et bornée et kf?gk∞6kfkpkgkp0.
Florian LEMONNIER 1
Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1
DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE
Étape 4 : Concluons !
Par convergence monotone, puisque 06Φn
bf
26Φn+1
bf
2, on a : lim
n→∞(ϕn?g) (0) = 1 2π
Z
R
fb(t)2 dt.
D’oùkfk22= 1 2π
bf
2
2, montrant également que bf ∈L2. Théorème
La transformée de Fourier, définie sur L1∩L2, se prolonge en un isomorphisme, proportionnel à une isométrie, de L2sur L2.
Démonstration :
Étape 1 : L1∩L2est dense dans L2.
Si f ∈L2, alorsfn =1[−n,n]f ∈L1∩L2et par convergence dominée :kf −fnk2 −→
n→∞0.
Étape 2 : Montrons qu’on prolonge ainsi la transformée de Fourier à L2tout entier.
Soit(fn)une suite de L1∩L2qui tend vers f dans L2. Comme
fbn−cfm
2 = √
2πkfn− fmk2, donc fbn
est de Cauchy dans L2 qui est complet donc converge ; on notefbsa limite.
Soit(gn)une autre suite de L1∩L2qui tend vers f dans L2. On poseh2n = fneth2n+1=gn, pourn∈N; ainsihn
k.k2 n→−→∞ f. Ainsi
hbn
est de Cauchy donc converge dans L2, donc bfn
et(cgn)ont même limite.
Cela montre donc quefbest indépendant de la suite convergeant versf. Et par passage à la limite danskfnk2= √1
2π fbn
2, il vientkfk2= √1 2π
bf
2. Étape 3 : Montrons que la transformée de Fourier est une bijection deS(R)sur lui-même.
Par intégrations par parties successives, on montre que :
∀k,p∈N,(it)kbf(p)(t) = Z
Re−itx ∂k
∂xk ((−ix)pf(x)) dx Cela fournit donc : f ∈ S(R)⇒ bf ∈ S(R).
Ainsi, si f ∈ S(R), alors bf ∈ L1, et la formule d’inversion de la transformée de Fourier fournit : f(x) = 1
2π
\b f(−x).
Étape 4 : On en déduit que l’image de L2par b est dense et fermée dans L2. On a : CC∞(R)
| {z }
dense dans L2(R)
⊂ S(R)⊂Im(b)⊂L2(R), donc Im(b)est dense dans L2(R).
Soitg∈L2(R), comme Im(b)est dense dans L2(R):∃(fn)∈L2(R)N,fbn −→
n→∞g.
Donc fbn
est de Cauchy, alors(fn)est de Cauchy dans L2donc converge vers f ∈L2(R). Par continuité de b : fn L2
n→−→∞ f donc bfn L2
n→−→∞ bf d’oùg= bf. Donc Im(b) =L2(R).
Références
[Far] J. FARAUT–Calcul intégral, EDP Sciences, 2006.
[Rud] W. RUDIN–Analyse réelle et complexe, 3eéd., Dunod, 2009.
Florian LEMONNIER 2
Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1
