Rappels de math Transformée de Fourier
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Transformée de Fourier.
La transformée de Fourier (densité spectrale d’amplitude [V/Hz]) d’un signal x(t) apériodique est :
[ ]
+∞∫
∞
−
= −
= X jf x t e dt t
x
TF ( ) ( ) ( ). j2πft (obtenue à partir du coefficient complexe X(jk) T→∞)
si x(t) ne possède pas de symétrie particulière X(jf) est complexe si x(t) paire alors X(jf) est réelle
si x(t) impaire alors X(jf) est imaginaire pure
Un signal x(t) possède une TF si
∫
−+∞∞ x )(t dt <∞ et s’il a un nombre fini de discontinuités.Tous signal d’énergie finie, permanent ou non, possède une TF.
Un signal périodique (puissance moyenne finie) possède une TF ; son spectre est discret, constitué d’impulsions de Dirac.
Linéarité Décalage
) ( . ) ( . )
( . ) (
.x t by t aX jf bY jf
a + →TF + x(t+td) →TF X(jf).ej2πftd
Intégration Dérivation
) ( ).
0 ( ) ( . )
( d 21 X jf 21 X f
x TF j f
t τ τ → π + δ
∫
−∞ ( ) j2 f.X(jf)dt t
dx TF
π
→
Convolution Modulation
) ( ) ( )
( ).
(
) ( ).
( )
( ) (
jf X jf H t
x t h
jf X jf H t
x t h
TF TF
∗
→
→
∗ ( ).
(
( 0))
2 0
f f j X e
t
x j πft →TF −
Valeurs à l’origine
∫
−+∞∞=
= X jf df t
x( 0) ( ) X(f =0)=
∫
−+∞∞x(t)dt→ Un signal de courte durée possède un spectre large bande.
→ Un signal de longue durée possède un spectre étroit.
Transformée de Fourier inverse
[ ]
+∞∫
∞
−
− X jf = x t = X jf e df
TF 1 ( ) ( ) ( ). j2πft
Energie d’un signal non permanent (on considère leur énergie ; car puissance nulle sur une durée ∞)
+∞
∫
∞
−
= x t dt
W 2( ) [V2.s] +∞
∫
∞
−
= X jf df
W ( )2 [V2/Hz]
d’où l’expression de la densité spectrale d’énergie Sx(f)= X(jf)2 = X(jf).X(jf)∗ [V2/Hz2]
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Quelques transformées de Fourier usuelles.
x(t) X(jf) X(jf)
Constante
) ( f K δ K
Impulsion de Dirac
)
δ (t 1
Peigne de Dirac
∑
+∞−∞
=
−
n
nT
t )
δ(
∑
+∞−∞
=
−
n
T n
T1 δ(f )
)
1T(f δ1T(f) δ )
T(t δT(t)
δ
Echelon unité
) (t
u
f j fδ π
2 ) 1 2 (
1 +
Impulsion rectangulaire
) / ( T t
rect T . sinc ( fT )
Phaseur
t f
e
j2π0δ ( f − f
0)
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Sinus
) 2 ( f
0t
sin π . { ( ) ( ) }
2 1
0
0
f f
f
j δ f − − δ +
Cosinus
) 2 ( f
0t
cos π . { ( ) ( ) }
2 1
0
0
f f
f
f + + δ −
δ
Impulsion cosinusoïdale
∆ / 2
) / ( ) 2
( f0t rect t ∆
cos π
. [ { ( ) }
2 sinc ∆ f + f
0∆
{ ( f f0) } ]
sinc ∆ − +
Signal périodique
t kf j k
e jk X( ) 2π 0
∑
+∞−∞
=
∑
+∞−∞
=
−
k
f f jk
X( )δ( 0)
