5.1 Les 2 représentations des signaux.
Une façon naturelle de connaître un signal est d’observer son allure en fonction du temps : c’est la , donnée par exemple par un oscillogramme
Les oscillogrammes nous renseignent sur l’amplitude, la valeur crête, la valeur moyenne, etc… mais pas sur les fréquences contenues dans le signal.
Dans le domaine des télécommunications, un problème important est la quantité d’informations (ou débit) qu’il est possible de transmettre sur un support donné (ligne téléphonique, liaison coaxiale, fibre optique…) A titre d’exemple, les signaux analogiques images d’une conversation téléphonique doivent rester compris dans la gamme de fréquences {300 Hz – 3300 Hz} ; un émetteur de radiodiffusion FM ne doit pas occuper une bande de fréquence plus large que 150kHz…
Pour satisfaire à des exigences de cette sorte, il faut représenter les signaux, non plus en fonction du temps, mais en fonction de la fréquence : c’est la
Le spectre d’un signal est la représentation en fonction de la fréquence des amplitudes des différentes composantes présentes dans le signal.
Exemples : Voici les 2 représentations d’une tension triangulaire.
Il s’agit d’une tension périodique, de fréquence 300Hz ; , à des fréquences multiples de 300Hz, de hauteur décroissant avec la fréquence.
Pour un signal musical, le spectre a une allure un peu différente : Un tel signal évolue de façon quasi aléatoire au cours du temps, tant en amplitude qu’en timbre.
En conséquence, si on établit son spectre sur un intervalle de temps suffisamment long, nous constaterons qu’il renferme pratiquement toutes les fréquences comprises entre 20 Hz et 20 kHz (domaine audio).
On parle dans ce cas de .
Temporelle Spectrale
Ci-dessous, les 2 représentations d’une dizaine de ms d’un signal audio :
5.2 Spectre d’un signal périodique.
5.2.1 Le théorème de Fourier.
En simplifiant quelque peu les Mathématiques, on peut dire que toute fonction périodique du temps peut s’exprimer sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales et éventuellement d’une constante.
Ceci constitue une version de l’énoncé du théorème de Fourier.
Une autre version consiste à parler de décomposition d’une fonction périodique en série de Fourier.
(Rque : Nous admettons ce résultat, même en présence de certaines discontinuités, telles que les fronts) Soit x(t) un signal de forme quelconque, mais périodique de période T
Le mathématicien Fourier a démontré que la fonction x(t) peut s’écrire sous la forme suivante :
x(t) = X0 + C1sin(ωωωt + ϕϕϕϕω 1) + C2sin(2ωωωωt +ϕϕϕϕ2) + C3sin(3ωωωωt + ϕϕϕϕ3) + ... + CNsin(Nωωωt + ϕϕϕϕω N) + ...
X0 est la valeur moyenne de x(t): = = T
0 0 X T1 x(t).dt X
C1sin(ωt + ϕ1) est le terme fondamental de x(t) ; sa pulsation est ω = 2πf = 2π/T ;.son amplitude est C1. C2sin(2ωt +ϕ2) est l’harmonique de rang 2; sa pulsation est 2ω ; son amplitude est C2.
CNsin(Nωt + ϕN) est l’harmonique de rang N; sa pulsation est Nω ; son amplitude est CN. Noter qu’on ne parle pas d’harmonique de rang 1, mais de terme fondamental.
Cette décomposition peut aussi s’écrire de la façon suivante :
x(t) = X0 + A1cosωωωt + Bω 1sinωωωt + Aω 2cos(2ωωωωt) + B2sin(2ωωωωt) +… + ANcos(Nωωωωt) + BNsin(Nωωωωt) + … {A1cosωt + B1sinωt} représente le terme fondamental ; { ANcos(Nωt) + BNsin(Nωt)} est l’harmonique de rang N ;
Les coefficients de cette nouvelle expression se calculent de la façon suivante : ω
= T
0
N x(t).cos(N t).dt T2
A
ω
= T
0
N x(t).sin(N t).dt T2
B
Les 2 décompositions sont bien sur équivalentes : On aura : CN2 = AN2 + BN2 et tanϕϕϕϕN = BN /AN
Temporelle Spectrale
Lorsque la décomposition d’un signal est déterminée, on peut représenter son spectre d’amplitude : On représente les amplitudes CN en fonction de la fréquence ; comme les CN correspondent à des fréquences multiples du fondamental, on obtient un spectre de raies.
L’allure générale d’un spectre est la suivante :
5.2.2 Quelques propriétés simplificatrices.
Intéressons nous à des fonctions alternatives (pour lesquelles X0 = 0) - Fonctions paires ou impaires.
Pour une fonction x(t) paire, nous avons x(-t) = x(t) ; sa décomposition en série de Fourier ne peut renfermer que des fonctions paires.
Conséquence : Les coefficients BN sont tous nuls pour une fonction paire.
Pour une fonction x(t) impaire, nous aurons x(-t) = - x(t) ; la décomposition en série de Fourier ne peut renfermer cette fois que des fonctions impaires.
Conséquence : Les coefficients AN sont tous nuls pour une fonction impaire.
Attention : La « parité » dépend souvent du choix de l’origine des temps !!
Les 2 signaux triangulaires ci-dessus présentent évidemment le même spectre d’amplitude ; les amplitudes CN des 2 décompositions sont identiques ; par contre, les phases à l’origine ϕN seront différentes dans les 2 écritures.
- Fonctions présentant une « symétrie d’alternances »
Ce type de fonction présente des alternances positives et négatives de même forme et telles qu’on puisse écrire x(t + T/2) = - x(t) (On parle également de « symétrie de glissement »)
En conséquence, si une fonction périodique du temps possède la symétrie d’alternances, toutes les harmoniques de sa décomposition en série de Fourier doivent la posséder.
Dans ces conditions, toutes les harmoniques de rang pair sont d’amplitude nulle.
On a représenté 2 tensions u1(t) et u2(t) en haut de la page suivante ; u1 possède la symétrie d’alternances ; par contre, u2 ne la possède pas mais est toutefois impaire.
on écrira : u1(t) = Σ{A2p+1.cos(2p+1)ωt + B2p+1.sin(2p+1)ωt}, avec p entier variant de 0 à +∝
et u2(t) = ΣBp.sin(pωt)
t t
x x
0 0
Signal triangulaire pair Signal triangulaire impair
5.2.3 Décomposition des signaux les plus courants.
u1 u2
0 t 0 t
(
ω + ω + ω +⋅⋅⋅)
= π sin55 t
33 t t sin
E sin ) 4 t ( x
⋅
⋅
⋅ ω − ω +
− π ω
= 2 2 2
55 t 33 t sin
t sin E sin
) 8 t ( x
(
+ ω − ω +⋅⋅⋅)
= π 2cos154 t 32 t
cos 1 2
E ) 2 t ( x
(
ω − ω + ω −⋅⋅⋅)
= π sin33 t
22 t t sin
E sin ) 2 t ( x
5.3 Notion sur les spectres de signaux non périodiques.
Pour présenter simplement ce type de spectre, raisonnons sur un exemple : Quel est l’allure du spectre d’une impulsion rectangulaire unique ?
On peut très bien déduire le spectre cherché du spectre du signal périodique correspondant.
Considérons ainsi un signal rectangulaire positif de rapport cyclique a ; les représentations temporelles et fréquentielles d’un tel signal sont données ci-dessous :
Le spectre comprend des raies aux fréquences Nf, dont l’amplitude évolue avec la fréquence comme une fonction de type sin . Cette fonction enveloppe passe par 0 aux fréquences multiples de l’inverse de la θθ largeur des créneaux : 1/aT, 2/aT...
Pour obtenir le spectre d’une impulsion unique, il suffit d’augmenter infiniment la période T Dans ce cas, les raies se rapprochent et le spectre est constitué d’une infinité de raies juxtaposées, alors que l’enveloppe ne change pas :
Nous aurons maintenant un spectre de bande et non plus un spectre de raies.
On ne trace plus les raies, le spectre est maintenant une fonction continue de la fréquence F(f).
L’amplitude n’est évidemment pas la même dans les 2 cas, puisqu’un train d’impulsions contient beaucoup plus d’énergie qu’une impulsion unique.
Remarque : Ce spectre est « fugitif » puisqu’il n’existe que pendant le temps très bref de la durée de l’impulsion. Dans le cas d’un signal périodique au contraire, le spectre est stable dans le temps.
Le spectre de fréquence d’une fonction x(t) non périodique se calcule grâce à une opération nommée Transformée de Fourier et que nous noterons X(ω).
Cette fonction complexe est définie par : X(ω) = −+∞∞x(t)⋅e−jωtdt
Le module X(ω) représente l’enveloppe du spectre de la fonction x(t) ; il n’a de sens que pour les valeurs positives de la fréquence.
5.4 L’analyseur de spectre.
Cet appareil permet l’affichage du spectre des signaux sur un écran. Il peut être autonome , intégré au sein d’un oscilloscope ou associé à un ordinateur.
On peut distinguer l’analyseur de spectre analogique et l’analyseur de spectre numérique.
Principe de l’analyseur de spectre analogique.
Un générateur de dents de scie de très faible fréquence wobule un VCO sinusoïdal. Un multiplieur effectue le produit du signal à analyser et du signal sinusoïdal de sortie du VCO. Un filtre permet d’extraire la valeur moyenne de ce produit.
La dent de scie (image de la fréquence instantanée fB de sortie du VCO) est appliquée à l’entrée X d’un oscilloscope, tandis que la sortie du filtre moyenneur est appliquée à l’entrée Y ; on obtient ainsi à l’écran une courbe représentant l’amplitude du signal à analyser en fonction de la fréquence, c’est à dire son spectre.
Analyseur de spectre numérique.
Cet appareil travaille sur des échantillons du signal à traiter, prélevés à une cadence régulière, puis numérisés.
En pratique, on prélève un nombre n d’échantillons qui est une puissance de 2 (1024 ou 2048 très souvent) ; ce prélèvement nécessite une durée nTE, si TE est la période d’échantillonnage.
Il est facile de comprendre que la fenêtre temporelle nTE d’acquisition doit être supérieure à la période du signal à traiter (si celui-ci est périodique).
Le système effectue alors une opération appelée Transformée de Fourier discrète sur les n échantillons : En nommant XN l’échantillon du signal analogique x(t), prélevé à la date NTE, il vient
−
=
ω
⋅ −
= N 1
0 k
kT k j
m X e E
A
En théorie, la représentation de Am en fonction de ω donnera le spectre de x(t).
En pratique, les différents échantillons prélevés sont pondérés par des méthodes diverses (fenêtre de Hamming, de Bartlett…). On calcule, non pas la transformée de Fourier discrète, mais une transformée de Fourier rapide (FFT), qui permet de conserver l’essentiel des caractéristiques des spectres, tout en réduisant considérablement le volume des calculs à effectuer. (algorithme de Cooley-Tukey)
Générateur de
dents de scie V.C.O
Multi-
plieur Filtre
passe-bas
X
Y
Signal à analyser x(t)
AcosωBt
5.5 Valeur efficace – Taux de distorsion harmonique.
Considérons un signal périodique dont la décomposition est : = + ω +ϕ
NCNsin(N t N) X
) t (
x .
5.5.1 Valeur efficace.
Par définition, sa valeur efficace X se calcule selon : X2 = T1 ⋅ 0Tx2(t)⋅dt
Exprimons x2(t) : = + ω +ϕ + ⋅ ω +ϕ
N N N
2
N N N
2(t) X2 C sin(N t ) 2X C sin(N t ) x
Or, on peut vérifier aisément que :
- La valeur moyenne de toute fonction sinusoïdale est nulle.
- La valeur moyenne du produit de 2 fonctions sinusoïdales de pulsations différentes est nulle.
- La valeur moyenne du carré d’une fonction sinusoïdale est égale à ½.
On en déduit alors : = +
N 2N 2 X2 21 C )
t (
x
Le second terme représente la valeur efficace de l’ondulation de x(t), soit =
N 2N OND 21 C X
Et la valeur efficace cherchée est : X = (X2 +X2OND) Exemple :
Soit la tension
x(t) = 0,5 + 2sin(200πt) +0,25sin(600πt) + 0,1sin(1000πt) Sa valeur moyenne est 0,5V
La valeur efficace de son ondulation est : V 43 , 2 0,1 1 25 , 0
XOND = 22+ 2+ 2 ≈
La valeur efficace X est : V 51 , 1 43 , 1 5 , 0
X = 2 + 2 ≈
5.5.2 Taux de distorsion harmonique
Le taux de distorsion harmonique permet de chiffrer la pureté spectrale d’un signal, par rapport à un signal sinusoïdal de référence.
Le taux de distorsion harmonique ne concerne que l’ondulation des signaux ; les composantes continues éventuelles ne sont pas prises en compte pour son évaluation.
L’appareil permettant sa mesure se nomme distorsiomètre.
Soit le signal périodique le plus général : = + ω +ϕ
N CNsin(N t N) X
) t ( x On appelle distorsion d’ordre N le rapport
1 N CCN
d =
On appelle distorsion harmonique totale le rapport
1 2N 23
22
C
...
C ...
C
THD C + + + +
= Exemple :
Reprenons le signal précédent : x(t) = 0,5 + 2sin(200πt) +0,25sin(600πt) + 0,1sin(1000πt) Nous avons C1 = 2V, C2 = 0, C3 = 0,25V, C4 = 0 et C5 = 0,1V
On peut en déduire les distorsions d’ordre 3 et 5 : d3 =0,125 et d5 = 0,05 , ainsi que le taux de distorsion harmonique totale de cette tension : THD ≈ 0,135, soit 13,5%.
Remarque : Pour un signal présentant un faible taux de distorsion, on peut assimiler la valeur efficace de l’ondulation à la valeur efficace du fondamental du signal ; on obtient ainsi une définition approchée du taux de distorsion :
...
C ...
C C C
...
C ...
C THD C
2N 23
22 12
2N 32
22
+ + + + +
+ + +
≈ +
Cette approximation est utilisée par certains distorsiomètres qui fonctionnent selon le schéma suivant :
5.5.3 Classification générale des distorsions.
Quand un étage non linéaire déforme un signal sinusoïdal, nous pouvons distinguer 2 cas : - Apparition majoritaire d’harmoniques de rang impair.
C’est le cas des étages en saturation, des amplificateurs symétriques (push-pull) ; la distorsion est symétrique ; on parle de distorsion d’harmonique 3.
- Apparition majoritaire d’harmoniques de rang pair.
C’est le cas des étages amplificateurs à un seul transistor, par exemple ; la distorsion est dans ce cas dissymétrique, et on parle de distorsion d’harmonique 2.
Exemples : Par rapport à la sinusoïde de référence u0, les tensions u1, u2 et u3 présentent toutes un THD de 15%, et pourtant…
Elimination composante
continue
Elimination
du fondamental Val eff
harmoniques
Val eff ondulation
Rapport
THD Signal à
traiter
u0= cos(100t)
u1 = cos(100t) + 0,15cos(200t)
u2 = cos(100t) + 0,15cos(300t)
u3 = cos(100t) - 0,15cos(300t)
5.6 Opérations de traitement des signaux : Conséquences sur les spectres.
5.6.1 Translations.
- Translation temporelle. C’est le cas du traitement d’un signal par une ligne à retard. Ce type de bloc fonctionnel apporte un retard constant θ à tout signal.
Toutes les composantes spectrales sont retardées de la même façon : Leurs amplitudes ne sont pas modifiées.
- Translation de niveau.
On ajoute ici un décalage continu (offset) à un signal. L’ondulation n’est pas affectée.
Seule la composante continue est modifiée ici. - Translation de fréquence.
La translation de fréquence est généralement réalisée par fonction produit (multiplieur).
C’est un 1er exemple d’opération non-linéaire.
Considérons, pour simplifier, le produit de 2 tensions sinusoïdales : Soient u1(t) = U1 2sin(2πf1t) et u2(t) = U2 2sin(2πf2t)
Un multiplieur effectue le produit de ces 2 tensions, à un facteur d’échelle K près : uS(t) = K.u1(t).u2(t) = 2K.U1.U2.sin(2πf1t).sin(2πf2t), soit, en linéarisant :
uS(t) = K.U1U2.cos[2π(f1 – f2)t] - K.U1U2. cos[2π(f1 + f2)t]
La tension uS ainsi produite comporte 2 raies d’égale amplitude, aux fréquences |f1 – f2| et f1 + f2. Noter que ces 2 raies n’existaient pas dans les spectres de u1 et de u2.
Cf. exemple ci-contre : u1(t) = sin(4000πt)
u2(t) = 0,5.sin(250πt)
uS(t) = 0,2.u1.u2
Remarque relative aux systèmes non linéaires : La fonction produit est l’opération nonlinéaire de base. Les redresseurs, les découpeurs (hacheurs ou choppers), les blocs fonctionnels en régime de saturation sont d’autres exemples d’opérateurs non linéaires.
Le point commun à tous les opérateurs non linéaires est de faire apparaître des composantes harmoniques nouvelles.
Ce phénomène est mis à profit pour réaliser par exemple des multiplieurs de fréquence, à l’aide d’amplificateurs en saturation, associés à un filtre passe-bande adapté.
Retard
e(t) s(t) = e(t - θ)
!
K.d / dt
e(t) s(t) = Kde / dt
5.6.2 Dérivation.
Un bloc dérivateur élabore un signal proportionnel à la dérivée par rapport au temps de son signal d’entrée.
(Noter que la constante K est homogène à un temps)
Avec = + ω +ϕ
N CN.sin(N t N) E
) t (
e ,
Il vient : s(t) K dedt KC .cos(N t N)
N Nω ω +ϕ
=
=
Au niveau des spectres, on peut constater que la composante continue est éliminée et que les harmoniques sont amplifiées d’autant plus que leur rang est élevé.
Exemple : e(t) = 2sin(100πt) + 0,1sin(200πt) + 0,05sin(300πt) + 0,01sin(400πt) Le THD de e(t) est de l’ordre
de 5%.
Il n’empêche que e(t) reste assez proche d’une sinusoïde.
A l’inverse, s(t) en diffère assez fortement.
En conclusion, nous dirons qu’un circuit dérivateur dégrade le taux de distorsion harmonique.
5.6.3 Intégration.
Cette fois, le bloc considéré élabore un signal proportionnel à une primitive du signal appliqué.
Avec = + ω +ϕ
N CN.sin(N t N) E
) t (
e ,
Il vient = = + − ω ω +ϕ
N N N
te(t).dt K'.Et. K'. NC .cos(N t ) '.
K ) t ( s
La constante K’ a la dimension de l’inverse d’un temps.
Une première remarque est que la présence d’une composante continue dans e(t) va entraîner la saturation de l’intégrateur au bout d’un certain temps !
Au niveau de l’ondulation, on peut voir que les harmoniques sont maintenant atténuées, d’autant plus que leur rang est élevé.
Exemple : e(t) = 2sin(100πt) -0,2sin(300πt) + 0,1sin(500πt) - 0,05sin(700πt)
Le THD de e(t) est de 11,5%
(e(t) pratiquement triangulaire) L’intégrateur élabore la tension
=
t
dt ).
t ( e 10 ) t ( s
Cette tension est bien plus proche d’une sinusoïde : L’intégration permet d’améliorer le THD.
K’.
e(t) s(t) = K’ e(t)dt
5.6.4 Somme ou différence.
Dans la somme de 2 signaux périodiques e1(t) et e2(t) , on va bien sur trouver toutes les composantes harmoniques de e1(t) et de e2(t). Par contre, la fréquence apparente de la somme s(t) = e1(t) + e2(t) n’est pas aussi simple à définir.
Raisonnons sur un exemple : Soient e1(t) = sin(200πt) et e2 = 0,5sin(250πt).
e1 est sinusoïdale, de fréquence f1 = 100Hz (T1 = 10ms)
e2 est sinusoïdale, de fréquence f2 = 125Hz (T2 = 8ms)
s = e1 + e2 n’est pas sinusoïdale, et de période T = 40ms, soit f = 25Hz.
Le spectre de s contient 2 raies, aux fréquences f1 et f2, mais pas de raie à la fréquence f !!
(Remarque : 40ms est le plus petit commun multiple à 8ms et 10ms) 5.6.5 Filtrage.
Un filtre transmet une bande de fréquences donnée ; il transmettra , soit la totalité du spectre d’un signal, soit une partie seulement. Un filtre ne peut qu’appauvrir le spectre d’un signal.
Soit la tension u(t) = sin(200πt) + 0,2sin(600πt + π/6) +0,05sin(1000πt + π/3) – 0,02sin(1400πt).
Envisageons différents filtrages de u(t) :
Elimination des harmoniques de u(t) par filtrage passe-bas : Il ne reste que le fondamental de fréquence 100Hz.
Elimination du fondamental de u(t) : Il subsiste les harmoniques 3, 5 et 7.
(Remarquer la fréquence apparente qui demeure 100Hz toutefois !!)
