TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL EI3 2002-2003
Devoir surveillé N°1 Durée 2h 30 avec documents
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I – NUMERISATION
Un circuit de traitement numérique haute fréquence comprend un convertisseur analogique- numérique d’une résolution N = 14 bits. Le pas de quantification est q = 0,5 mV et la fréquence d’échantillonnage fe = 20 MHz.
1) A un demi pas de quantification près, le signal d’entrée peut varier de -Amax à +Amax. Quelle est la valeur de Amax ?
2) On applique à l’entrée le signal analogique xa(t)=A⋅cos(2πf0t+θ).
Exprimer le signal numérique x(n) obtenu pour f0 = 3,75 MHz. Quelle est sa période P en nombre d’échantillons ?
Représenter x(n) sur une période du signal analogique pour θ = 0.
3) Quel est, en décibels , le meilleur rapport signal à bruit que l’on puisse obtenir avec ce CAN ?
4) Des contraintes de linéarité imposent que A = Amax /2. Quel rapport signal à bruit pourra-t-on obtenir dans ces conditions ?
5) Intégré sur la même « puce », ce convertisseur comprend un échantillonneur- bloqueur dont le paramètre le plus critique est la gigue d’échantillonnage, c’est-à-dire l’incertitude ∆t sur l’instant d’échantillonnage.
Exprimer l’incertitude maximale ∆x sur l’amplitude des échantillons.
6) Considérant le signal analogique précédant d’amplitude A = Amax /2 et de fréquence f0 = 3,75 MHz, déduire de l’expression de ∆x la valeur maximale admissible de la gigue ∆t.
7) Que devient la condition sur ∆t si f0 est à la limite de Shannon ?
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II – REPONSE TEMPORELLE
1) On considère le signal numérique
π+π
=sin n2 6 )
n (
x1 . Représenter
graphiquement ce signal. Le pas d’échantillonnage est Te = 1 µs. Que peut-on dire de la fréquence f1 du signal analogique initial ?
2) On applique x1(n) à l’entrée du SLIT de réponse impulsionnelle :
= ↑1 0 1 )
n ( h1
Exprimer la sortie y1(n) en fonction de h1(n) et x1(n) puis la calculer.
3) Calculer la réponse en fréquence H1(f) du SLIT et tracer son module |H1(f)| dans le domaine [0, fe/2]. Retrouve-t-on y1(n) à partir de H1(f) ?
4) Quelle sera la réponse y2(n) au signal
⋅ π
+
= π
n4 cos 2 3
n sin 2 ) n (
x2 ?
5) Soit le SLIT de réponse impulsionnelle
↑
= 1 − 2 1 )
n (
h2 .
Tracer le module et la phase de sa réponse en fréquence H2(f). Que vaut H2(f) pour fe/4 et fe/8 ?
Quelle est la réponse y2(n) de ce SLIT au signal x2(n) précédent ?
6) On met les deux SLIT précédents en cascade. Calculer la réponse impulsionnelle globale h(n).
7) Exprimer le réponse en fréquence H(f) et tracer l’allure de son module. En déduire la réponse y(n) au signal x2(n).
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III – SPECTRE D’UN SIGNAL, RECONSTRUCTION
On considère le signal analogique xa(t) ci-dessous. Le calcul de l’intégrale de Fourier donne le spectre « analogique » :
T sin (fT)
fT ) fT T sin(
) f (
Xa = ⋅ c
π
⋅ π
= )
(
sinc est la fonction « sinus cardinal » définie par : u
) u ) sin(
u ( sinc
π
= π
1) Tracer l’allure du spectre Xa(f).
2) On échantillonne xa(t) avec le pas Te = T/3. Représenter le signal numérique x(n) ainsi obtenu puis calculer et représenter son spectre X(f).
3) Quelle est l’énergie de x(n). Vérifier que l’on obtient bien la même valeur à partir du spectre X(f) (voir formule du cours).
4) Comment trace-t-on X(f) connaissant Xa(f) et Te ?
5) On applique x(n) à l’entrée d’un filtre analogique de reconstruction fournissant un signal analogique xa′(t) donné par la formule d’interpolation de Shannon :
∑
+∞−∞
=
−
⋅
=
′
n
e c
a(t) x(n) sin (f t n) x
Calculer numériquement x′a(t) pour t = 0 ; 0,5Te ; 1,5Te ; 2Te et 2,5Te. Comparer )xa′(t à xa(t) et interpréter les écarts obtenus.
6) Comment pourrait-on minimiser ces écarts ?
Qu’est-ce qui, dans la forme de xa(t), est la cause de ces écarts ?
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+T/2 t -T/2
xa(t)
0 1
