Spectrométrie par transformée de Fourier

Spectrométrie par transformée de Fourier

On va montrer que l’interférogramme obtenu à l’aide d’un interféromètre de Michelson permet, par transformée de Fourier, d’obtenir le profil de la raie source.

1. L’interféromètre de Michelson :

La lame séparatrice sépare le faisceau incident en deux parties : Un faisceau de référence par le miroir M1 et un autre par le miroir M2.

source

M₂ a b

c M₁

i

Si les amplitudes des deux faisceaux sont les mêmes et égales à A0 :

AM₁A₀ AM₂A₀e^i







A_TA₀A₀e^i

I P

 

^AT

 

P ^AT*

 

P ^{2 I}0



1cos



avec  4n e cos i



₀ e = ab-ac , i=0

x = 0 : pas de déphasage entre les deux ondes.

e = x : I P

 

^{2 I}0 1cos 4x

₀



 





 



I max pour x=0 I min pour ^4₀^x 

2 x₀ 2

2. La source est constituée de deux raies infiniment fines de même intensité et de nombres d’ondes ₁ et ₂ :

I2I₀



2cos 2 

 

₁ ^{cos 2 }



^2

 

I4 I₀^1cos 2 

 

₁ ₂



^



^{cos 2 }

 

^{1  2}



^







 k 2

  2  c







 2   c







 or ^

c  

Généralement ₁ ₂ ₀

I4 I₀



1cos 2 

  

^



^{cos 2}

  

^20 ^

 

I_max 4 I₀ 1cos  

_c



 





 

 avec _c  1



I_min4I₀ 1cos  

_c



 





 



V  

 

^{cos  }_

c



 



I x

 

^4I0 1cos  2x c







cos 4 ₀ x c











 



₀ c

₀ c₀

 c

I x

 

^4I0



1cos



 2x



^{cos 4 }



0x

 

Entre deux valeurs successives de chemin optique pour lesquelles  0 :

  _c c_c  ₀²

 puisque   _c m1 2









Pour caractériser les deux raies on cherche :   ₂ ₁

En déterminant p : le nombre de interfranges contenus dans un lobe on aura :

_c p₀ ₀²













    ₀² p₀ ₀

p

  ₂ ₁ ₀ p

₀ étant donné :

₁ ₀ ₀ p

₂ ₀₀ p

3. On suppose maintenant que la raie source à un profil en nombre d’ondes g

 

 , que l’on supposera symétrique.

I2 g

 









^^{1cos 2  }

^{ }

d

I2 g

 









^{d  g}

^{ }

^







^{cos 2  }

^{ }

^d













On pose : g

 









^{d I0}

I2 I₀ 1 1

I₀ g

 









^{cos 2  }

^{ }

^d













On pose : G

 

' ^g

 

^

I₀ , '   ₀

G

 

' : densité spectrale normalisé et centrée (réelle).

I2 I₀ 1Re e^{i 2 0} G

 

'







^{e2i   0 d}



























 I2 I₀^_1Re e



^{i 2 0} 



^_

 : complexe,    e^i

I2 I₀ 1Re^_ e^{i 2 } ^0









 



avec   G

 

'







^{e2i ' d}

L’intensité comporte à la fois :

 Un fond continu : 2 I0

 Une partie reliée à la TF de g

 

 ^{:   G}

 

^'







^{e2i ' d'}

Si g

 

 est gaussienne : g

 

 ^{A e}

 ₀

 ²

2₁²

g

 









^{d  2 A1 G}

^{ }

^{' } _{2 }¹

1

e

'² 2₁²













G

 

' : densité spectrale normalisée centrée

I2 I₀ 1Re e^{i 2 } ^0







_{2 }¹

1

e

'² 2₁²











 e^{i 2 '}d'





































J







_{2 }¹

1

e

'² 2₁²











 e^{i 2 '} d'

J e^{22122}

2 ₁ 2₁ e^u2







^du

Je^{22122}

I2 I₀ 1Re e ^{i 2 } ^0_e^2212²









 

 I2 I₀^_1e^{22122}cos 2 



₀



^_

I2 I₀^1cos 2 



₀

 

x



^{e2212 x2}









 

 

x ^2x

4. Largeur :

La largeur est celle de la Gaussienne :

G

 

 ^{e22122 x} G 0

 

^1

On cherche G

 

 ^{ 1}₂ ^{: e22122 x  1}₂

   ln 2

 

2 ₁

La largeur à mi-hauteur de la gaussienne complète est ₂^.

On revient à g

 

 ^{A e}

₀

 ²

₁

2₁



2 ln 2

  

^{21 LTMH g}

^{ }

^ 

LTMH : Largeur Totale à Mi Hauteur

₁ LTMH g^_

 

 ^_ 2 2 ln 2

   

¹²

En remplaçant ₁ dans l’expression de , on a :

 

I x

2 I0

 ^x



  ln 2

 

2 LTMH g^_

 

 ^_ 2 2 ln 2

   

²¹





















  2ln 2

 

LTMH g^_

 

 ^_ LTMH g^_

 

 ^_{ } ^{ln 2}

 

x

HP : _x3.10^3m ( 1^er déplacement) BP : _x3.10^2m