Transformée de Fourier

Université Claude Bernard Lyon 1 Licence de mathématiques 3

année

Mesure et intégration Année 2020–2021

Feuille de TD # 9

Transformée de Fourier

Cadre

1. Nous travaillons dans R

muni de la mesure de Lebesgue.

2. « ¨ » est le produit scalaire standard dans R

: x ¨ ξ : “ ř

j“1

x

ξ

, @ x, ξ P R

. 3. « | | » est la norme euclidienne standard dans R

: | x | : “

´ ř

j“1

p x

q

¯

, @ x P R

. Exercice # 1.

a) Soient f P L

pR

q et ε ą 0. Soit f

p x q : “ ε

f p x { ε q, @ x P R

. (i) Montrer que f

P L

.

(ii) Montrer que f

Ź

pξq “ fpε ξq. p (iii) Montrer que |f

Ź

pξq| ĺ }f}

, @ ε ą 0, @ ξ P R

.

b) Soient f P L

p R

q et h P R

. Soit τ

f pxq :“ f px ´ hq, @ x P R

. (i) Montrer que τ

f P L

.

(ii) Montrer que τ

f

Ź

pξq “ e

fpξq, p @ ξ P R

. c) Soit f P L

p R

q.

(i) Montrer que f P L

. (ii) Montrer que f

Ź

pξq “ f

Ź

p´ξq, @ ξ P R

. d) Soit f P L

p R

q. Soit f q p x q : “ f p´ x q, @ x P R

.

(i) Montrer que f q P L

. (ii) Montrer que p

fpξq “ q f p p´ξq “ q

f p pξq, @ ξ P R

. Exercice # 2.

a) Soit a ą 0. Soit g

: R Ñ R , g

pxq :“ e

, x P R . Nous nous proposons de calculer h

:“ g

Ź

. Rappelons que

ż

R

e

dx “ π

.

(i) Montrer que g

P L

et calculer h

p 0 q.

(ii) Montrer que h

P C

et donner la formule de ph

q

.

(iii) En utilisant une intégration par parties, montrer que ph

q

pξq “ ´ ξ h

pξq

2a . Indication : x e

“

´ 1 {p 2a q

´ e

¯

. (iv) Obtenir la formule e

Ź

pξq “ pπ{aq

e

. Sous une forme plus compacte, nous avons g

Ź

pξq “ pπ{aq

g

pξq.

b) Plus généralement, soit g

pxq :“ e

, x P R

. Montrer que g

Ź

pξq “ pπ{aq

g

pξq, @ a ą 0,

@ ξ P R

.

c) Soit A P M

p R q une matrice symétrique, définie positive. Soit f p x q : “ e

, @ x P R

. En utili- sant la question précédente et un changement linéaire de variables, calculer f p .

1

Exercice # 3. Voici une autre méthode pour calculer la transformée de Fourier des gaussiennes. Elle est inspirée par l’analyse complexe (attendre le prochain semestre).

Soit F : R Ñ C , F psq :“

ż

R

e

dx.

a) Montrer que F est bien définie et de classe C

. b) Montrer que F est constante.

c) En déduire la formule de la transformée de Fourier de x ÞÑ e

.

Exercice # 4. Dans R , soit f : “ χ

. Montrer que f P L

mais que f p R L

. En déduire que la formule d’inversion de Fourier ne s’applique pas à toutes les fonctions de L

.

Exercice # 5. Rappelons que ż

´8

sin t

t dt “ π. (Il s’agit d’une intégrale généralisée.) Soit f la question de l’exercice précédent.

a) Montrer que fpxq “ lim

RÑ8

1 2π

ż

´R

e

f p pξq dξ, @ x P R zt0, 1u.

b) Voyez-vous un lien entre la formule ci-dessus et le fait que f P L

? Exercice # 6.

a) Soit f : R Ñ R , f p x q : “ e

, @ x P R . Calculer f p . b) Soit g : R Ñ R , gpxq :“ 1

1 ` x

, @ x P R . Calculer p g.

Exercice # 7. Soit λ ą 0. Soit f pxq :“

ż

0

e

p4π tq

e

dt, @ x P R

.

a) Montrer que f P L

pR

q.

b) Calculer f. p

Exercice # 8. (Résolution de l’équation de Helmholtz) Soit f la fonction de l’exercice précédent. Soit g P C

pR

q.

a) Montrer que f ˚ g P C

p R

q et que f ˚ g P L

p R

q.

b) Soit ∆ le laplacien, c’est-à-dire ∆u p x q “ B

u

Bpx

q

p x q ` B

u

Bpx

q

p x q ` ¨ ¨ ¨ ` B

u

Bpx

q

p x q, @ u P C

pR

q.

Calculer F rpf ˚ pλg ´ ∆gqs.

c) Trouver une solution h P C

p R

q de l’équation de Helmholtz λh ´ ∆h “ g.

Exercice # 9. Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes.

a) f : R Ñ R , f p x q : “ p sgn x q e

, @ x P R . b) g : R Ñ C , gpxq :“ 1

x ` ı , @ x P R . Exercice # 10.

a) Soit f P L

pR

q une fonction « radiale », c’est-à-dire de la forme f p x q “ g p| x |q pour une fonction Lebesgue mesurable g :s0, 8rÑ R . Montrer que f p est radiale.

b) Même propriété si f P L

p R

q.

2

Exercice # 11.

a) Soit g : R Ñ R , gptq :“

#

p 1 ´ t

q

, si | t | ă 1

0, sinon . Montrer que g P L

. b) Soit f : R

Ñ R , f p x q : “

#

|x|, si |x| ă 1

0, si |x| ě 1 . Calculer f p p ξ q en fonction de p g, @ ξ P R

. On pourra utiliser l’exercice précédent et calculer uniquement f p pt, 0q, avec t ě 0.

Exercice # 12. Soit f : R

Ñ R , f pxq :“ e

, où a ą 0.

a) À partir de la transformée de Fourier de R Q x ÞÑ 1 {p 1 ` x

q et de l’identité 1

1 ` x

“ ż

0

e

dt, @ x P R ,

montrer que e

“ 1

π

ż

0

e

t

e

dt, @ r ą 0. (1)

b) En utilisant (1) et la transformée de Fourier des fonctions R Q x ÞÑ e

, a ą 0, montrer que fpξq “ p 2

π

Γppn ` 1q{2q a

p a

` | ξ |

q

,

avec Γpxq :“

ż

0

t

e

dt la fonction d’Euler.

Exercice # 13.

a) Soient f P L

p R

q et g P L

p R

q. Montrer que f ˚ g P L

p R

q et que f ˚ g

Ź

“ f p p g. (On pourra commencer par f P L

X L

.)

b) Si f P L

p R

q et g P L

X L

p R

q, montrer que f ˚ gpxq “ p2πq

ż

Rⁿ

e

f p pξq p gpξq dξ, pour presque tout x P R

. (2) c) Montrer que (2) est vraie pour tout x P R

.

d) De même si f, g P L

p R

q.

Exercice # 14. Rappelons le résultat suivant du cours. Si f P C

pRq et si f

P L

, @ j P J 0, k K , alors B

f

Ź

p ξ q “ p ıξ q

f p p ξ q , @ j P J 0, k K . (3)

Nous nous proposons ici de montrer que, pour k ě 2, il y a trop d’hypothèses dans ce résultat, et qu’il suffit de supposer que f P L

et f

P L

.

Plus spécifiquement, nous allons montrer que

rf P L

p R q, f

P L

p R qs ùñ rf

P L

p R q, . . . , f

P L

p R qs.

Ceci fait echo à l’inégalité de Landau (exercice # 19 de la feuille # 7), qui donne rf P L

p R q, f

P L

p R qs ùñ f

P L

p R q.

a) Prenons d’abord k “ 2. Soit f P C

p R q.

3

(i) Exprimer f px ` 1q en fonction de f pxq, f

pxq et f

en utilisant la formule de Taylor à l’ordre deux sous forme intégrale au point x. En déduire une formule pour f

p x q.

(ii) Montrer qu’il existe une constante C ă 8 telle que }f

}

ĺ Cp}f }

` }f

}

q.

(iii) En déduire que, pour k “ 2, (3) peut s’obtenir sous les hypothèses plus faibles f P C

, f, f

P L

. b) Soit maintenant k ě 3. Soit f P C

p R q.

(i) Exprimer f px ` 1q, fpx ` 2q, . . . , f px ` k ´ 1q en fonction de f pxq, f

pxq, . . . , f

pxq et f

en utilisant la formule de Taylor à l’ordre k sous forme intégrale au point x. En déduire des formules pour f

p x q , . . . , f

p x q.

(ii) Montrer qu’il existe une constante C ă 8 telle que }f

}

` ¨ ¨ ¨ ` }f

}

ĺ Cp}f }

` } f

}

q.

(iii) En déduire que, pour tout k ě 2, (3) peut s’obtenir sous les hypothèses plus faibles f P C

, f, f

P L

.

Exercice # 15. (La fonction caractéristique d’un vecteur aléatoire détermine sa loi) Si µ est une mesure borélienne finie dans R

, nous définissons sa transformée de Fourier par la formule

µpξq p :“

ż

Rⁿ

e

dµpxq, @ ξ P R

.

a) Montrer que µ p est bien définie, et que c’est une fonction continue et bornée.

Nous nous proposons d’établir l’analogue suivant de l’injectivité de la transformée de Fourier dans L

p R

q. Soient µ

, . . . , µ

des mesures boréliennes finies dans R

, et soient α

, . . . , α

P R . Alors

k

ÿ

j“1

α

µ p

“ 0 ùñ

k

ÿ

j“1

α

µ

“ 0. (4)

b) Soit µ une borélienne finie dans R

. Soit K Ă R

un compact, et soit f :“ χ

. Soit g :“ f ˚ µ (voir l’exercice #29 de la feuille # 7).

Montrer que :

(i) g est continue et bornée.

(ii) g P L

p R

q.

(iii) p g “ f p µ. p

c) Soient µ

, . . . , µ

des mesures boréliennes finies dans R

et α

, . . . , α

P R tels que

k

ÿ

j“1

α

p µ

“ 0.

Montrer que

k

ÿ

j“1

α

g

p0q “ 0.

d) En déduire que

k

ÿ

j“1

α

µ

pKq “ 0.

e) En déduire que

k

ÿ

j“1

α

µ

“ 0. Indication : séparer les j tels que α

ě 0 des j tels que α

ă 0.

f) Établir la conséquence suivante de (4) : si deux vecteurs aléatoires (avec le même nombre de coor- données) ont la même fonction caractéristique, alors ils ont la même loi. (Voir l’exercice # 33 c) de la feuille # 3).

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