a) Calculer la transformée de Fourier de la fonction f :=1[−a,a]

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3

UE LM365 Intégration 2 Année 2009–2010

Examen final du 22 juin 2010 (2ème session)

Durée : 2 heures. Tous documents interdits. La qualité et la rigueur de la rédaction seront prises en compte. En particulier, chaque application d’une définition ou d’un résultat du cours devra être justifiée, brièvement mais scrupuleusement.

Exercice 1. On rappelle que latransformée de Fourier d’une fonctionλ-intégrablef :R−→R est la fonctionfˆ:R−→C définie par

f(u) :=ˆ Z

R

e^−iuxf(x)dx u∈R. Soit a >0.

a) Calculer la transformée de Fourier de la fonction f :=1[−a,a].

b) Calculer la transformée de Fourier des fonctions f et g définies par f(x) := e^−ax1x≥0 et g(x) := e^−a|x|.

c) En utilisant la transformée de Fourier inverse, calculer la transformée de Fourier de la fonction h définie par

h(x) = 1

x²+a² x∈R.

Exercice 2. Soient (E₁,A₁) et (E₂,A₂) deux espaces mesurables. Pour chaque i = 1,2, on se donne µi et νi deux mesures finies sur (Ei,Ai) telles que µi νi, autrement dit, µi est absolument continue par rapport à ν_i.

a) Montrer que µ1⊗µ2 et ν1⊗ν2 sont des mesures finies sur (E1×E2,A1⊗ A2).

b) Dans cette question, on cherche à montrer queµ₁⊗µ₂ ν₁⊗ν₂. Soit A∈ A₁⊗ A₂. Pour tout x∈E₁, on note A_x ={y∈E₂ : (x, y)∈A}.

i) Soit B := {x ∈ E₁ : µ₂(A_x) 6= 0} et B⁰ := {x ∈ E₁ : ν₂(A_x) 6= 0}. Expliquer brièvement pourquoi B etB⁰ sont des éléments de A₁.

ii) Montrer que B ⊆B⁰.

iii) On suppose que ν₁⊗ν₂(A) = 0. Montrer queν₁(B⁰) = 0, puis queµ₁(B) = 0.

iv) Conclure.

c) Dire pourquoi on peut appliquer le théorème de Radon–Nikodym aux couples de mesures (µ1, ν1), (µ2, ν2) et(µ1⊗µ2, ν1⊗ν2). Dans la question suivante, on notera f1, f2 et g les dérivées de Radon–Nikodym respectivement associées à ces trois couples.

Enfin, pour tout (x, y)∈E₁×E₂, on définitf(x, y) := f₁(x)f₂(y)(on ne demande pas de montrer que la fonction f est mesurable par rapport à la tribu produit).

d) Dans cette dernière question, on cherche à démontrer que f etg sont égales(ν1⊗ν2)-p.p.

Soit

B:={A∈ A₁⊗ A₂ :µ₁⊗µ₂(A) = Z

A

f d(ν₁⊗ν₂)}.

1

i) Montrer que B contient un π-système que l’on précisera.

ii) Montrer queB contient ∅, est stable par différence propre et est stable par réunion dénombrable croissante.

iii) Montrer que pour tout A∈ A1⊗ A2, µ1⊗µ2(A) = R

Af d(ν1⊗ν2).

iv) Conclure.

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