A.1. La fonction f

Sciences Po

Option Mathématiques

Epreuve 2011 Corrigé

Première partie

A.1. La fonction f

_λ

est la composée de la fonction linéaire x 6 − λ x et de la fonction exponentielle. Cette dernière étant strictement croissante sur \ , la monotonie de f

_λ

est donc donnée par celle de la fonction x 6 − λ x .

On doit distinguer deux situations :

• Si λ < 0 alors le coefficient de la fonction linéaire x 6 − λ x est strictement positif et celle-ci est strictement croissante sur \ . La fonction f

_λ

est elle-même strictement croissante sur \ .

• Si λ > 0 alors le coefficient de la fonction linéaire x 6 − λ x est strictement négatif et celle-ci est strictement décroissante sur \ . La fonction f

_λ

est elle-même strictement décroissante sur \ .

Si λ < 0 alors la fonction f

_λ

est strictement croissante sur \ et si λ > 0 alors la fonction f

_λ

est strictement décroissante sur \ .

Remarque : on aurait bien sûr pu établir la dérivabilité sur \ de la fonction f

_λ

(composée de deux fonctions dérivables sur \ ), calculer ^f

λ

^' ( ) ^x pour tout x réel ( ^f

λ

^' ( ) ^x = − λ ^e

^−λx

) et étudier le signe de l’expression obtenue …

A.2. On a classiquement :

( ) ( ) ( )

( )

( )

'

1

a a

a a a

a a

y f a x a f a

e x a e

e x a e e

e x a e

λ

λ λ

λ λ λ

λ λ

λ

λ λ

λ λ

− −

− − −

− −

= × − +

= − × − +

= − + +

= − + +

Au point ^A ( ^{a f a ;} ( ) ) , la courbe représentative C

_λ

de la fonction f

_λ

admet pour tangente

la droite T

_λ,a

d’équation : ^{y = − λ e}

^−λa

^{x +} ( ^{a λ + 1} ) ^e

^−λa

^.

A.3. a. Il semble, d’après l’affichage de la calculatrice, que, pour toutes valeurs des réels λ et a, la courbe C

_λ

soit située au-dessus de la tangente T

_λ,a

.

Remarque : il est intéressant de démontrer ce résultat !

Classiquement, pour étudier cette position relative, nous nous intéressons au signe sur \ de la différence :

( ) ^{x f} ( ) ^{x e}

^λa

^x ( ^{a 1} ) ^e

^λa

^e

^λx

^e

^λa

^x ( ^{a 1} ) ^e

^λa

λ λ

⎡ λ

⁻

λ

⁻

⎤

⁻

λ

⁻

λ

⁻

Δ = − − ⎣ + + ⎦ = + − +

La fonction Δ

_λ

est dérivable sur \ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle et pour tout x réel, on a :

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

' x e

^λx

e

^λa

e

^λx

e

^λa

f x f a

λ

λ

⁻

λ

⁻

λ

^{− −}

λ

λ λ

Δ = − + = − − = − −

Ici encore, nous distinguons deux situations :

• Si λ < 0 .

Le signe de Δ

λ

^' ( ) ^x est identique à celui de la différence ^f

λ

( ) ^x − ^f

λ

( ) ^a . Comme on l’a vu à la question précédente : quand λ < 0 la fonction f

_λ

est strictement croissante sur \ . On en déduit immédiatement :

o Si x < a , ^f

λ

( ) ^x < ^f

λ

( ) ^a et Δ

λ

^' ( ) ^x < ⁰ . o Si x < a , ^f

λ

( ) ^x > ^f

λ

( ) ^a et Δ

λ

^' ( ) ^x > ⁰ .

Ainsi, la fonction Δ

_λ

est strictement décroissante sur l’intervalle ] ^{−∞ ; a} ] ^et

strictement croissante sur l’intervalle [ ^{a ; + ∞} [ . Elle admet donc un minimum en a et ce minimum vaut : Δ

λ

( ) ^a = ^e

^−λa

+ λ ^e

^−λa

× − ^a ( ^a λ + ¹ ) ^e

^−λa

= ⁰ .

En définitive : ∀ ∈ ^x \ ^, Δ

λ

( ) ^x ≥ Δ

λ

( ) ^a = ⁰ , soit :

( ) ( )

,

^a

1

^a

x f

_λ

x λ e

^−λ

x a λ e

^−λ

∀ ∈ \ ≥ − + +

Graphiquement, la courbe est bien située au-dessus de sa tangente en tout point.

• Si λ > 0 .

Le signe de Δ

λ

^' ( ) ^x est le signe contraire de celui de la différence ^f

λ

( ) ^x − ^f

λ

( ) ^a . Comme on l’a vu à la question précédente : quand λ > 0 la fonction f

_λ

est strictement décroissante sur \ . On en déduit immédiatement :

o Si x < a , ^f

λ

( ) ^x > ^f

λ

( ) ^a et Δ

λ

^' ( ) ^x < ⁰ . o Si x < a , ^f

λ

( ) ^x < ^f

λ

( ) ^a et Δ

λ

^' ( ) ^x > ⁰ .

Ainsi, comme dans la situation précédente, la fonction Δ

_λ

est strictement décroissante sur l’intervalle ] ^{−∞ ; a} ] et strictement croissante sur l’intervalle

[ ^{a ; + ∞} [ . On conclut à l’identique :

( ) ( )

,

^a

1

^a

x f

_λ

x λ e

^−λ

x a λ e

^−λ

∀ ∈ \ ≥ − + +

Graphiquement, la courbe est encore située au-dessus de sa tangente en tout point.

Option Mathématiques Corrigé

Bien qu’une conjecture soit demandée dans cette question, nous concluons finalement : Pour toutes valeurs des réels λ et a, la courbe C

_λ

est située au-dessus de la tangente T

_λ,a

.

b. On obtient, selon le signe de λ les allures générales suivantes :

A titre de complément, nous fournissons également les courbes représentatives de la fonction f

_λ

pour les valeurs suivantes de λ : 2 − , 1 − , 1

− 2 , 1

2 , 1 et 2 ;

B.1. En guise de préambule, soulignons que, pour toute valeur de λ , la fonction f

_λ

prend, du fait de la fonction exponentielle, des valeurs strictement positives sur \ . Elle y est par ailleurs continue. Ainsi, l’aire sous la courbe C

_λ

sur l’intervalle [ ^{0 ; α} ] est donnée par :

( ) ( )

0^α

f x dx

λ

α = ∫

λ

A

a. La fonction f

_λ

admet pour primitive sur \ et donc sur [ ^{0 ; α} ] la fonction

1 ( ) 1

_x

x f

_λ

x e

^λ

λ λ

⁻

− = −

6 . Il vient donc :

( ) ( )

( ) ( )

( ( ) )

0 0

0

1

1 1

1 1 1

f x dx e

x

e e e

f

α λ α

λ λ

λα λ λα

λ

α λ

λ λ

λ α

−

− − × −

⎡ ⎤

= = − ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

= − − = −

= −

∫

A

( ) ¹ ( ^{1 e}

^λα

) ^{1 ( 1 f ( ) )}

λ

α

λ

α

λ λ

= −

−

= −

A

b. Déterminer la limite éventuelle de A

λ

( ) α ^{lorsque α} tend vers +∞ équivaut, d’après le résultat précédent, à déterminer la limite éventuelle de ^f

λ

( ) α en +∞ .

Si λ < 0 , on a :

_α

^lim

_→+∞

( ^{− λα} ) ^{= +∞ . Or lim}

^x

x

e

→+∞

= +∞ . On en déduit alors (composition) :

( )

lim e

^λα

lim f

_λ

α ⁻ α

α

→+∞

=

→+∞

= +∞ . Il vient ensuite

α

^{lim 1 f}

λ

( ) α

→+∞

⎡ ⎣ − ⎤ ⎦ = −∞ et, finalement, le réel 1

λ étant strictement négatif :

( ) ¹ ( ( ) )

lim

_λ

lim 1 f

_λ

α

α

α

α

λ

→+∞ →+∞

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦ = +∞

A

Si λ > 0 , on a :

_α

^lim

_→+∞

( ^{− λα} ) ^{= −∞ . Or lim}

^x

⁰

x

e

→−∞

= . On en déduit alors (composition) :

( )

lim e

^λα

lim f

_λ

0

α ⁻ α

α

→+∞

=

→+∞

= . Il vient ensuite

α

^{lim 1 f}

λ

( ) α ¹

→+∞

⎡ ⎣ − ⎤ ⎦ = et, finalement :

( ) ¹ ( ( ) ) ¹

lim

_λ

lim 1 f

_λ

α

α

α

α

λ λ

→+∞ →+∞

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦ =

A

Si λ < 0 , on a :

α

^lim

λ

( ) α

→+∞

A = +∞ ^{et si} λ > 0 , on a :

α

^lim

λ

( ) α ¹ λ

→+∞

A = ^.

Option Mathématiques Corrigé B.2. a. Les fonctions ^t 6 ^{t f}

λ

( ) ^t et ^t 6 ^{t f}

² λ

( ) ^t sont continues sur \ comme produits de

deux fonctions continues sur cet intervalle. Les intégrales de ces deux fonctions sur l’intervalle [ ^{0 ; α} ] sont donc bien définies.

b. Commençons par calculer ^I

λ

( ) α .

La fonction identité est dérivable et de dérivée continue sur \ et donc, à fortiori, sur l’intervalle [ ^{0 ; α} ] . La fonction f

_λ

est continue sur \ et donc, à fortiori, sur l’intervalle

[ ^{0 ; α} ] . Nous pouvons donc procéder à une intégration par parties :

( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

2 2

2 2

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

x

x x

I x t f x dx t e dx

t e e dx

e

e e

e e

e

α α λ

λ λ

α α

λ λ

λα λ

λα λα

λα λα

λα

λ λ

α α

λ λ

α

λ λ λ

α

λ λ λ

α

λ λ λ

−

− −

−

− −

− −

−

= =

⎡ ⎤

= − ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ +

= − +

⎡ ⎤

= − + ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦

= − −

⎛ ⎞

= − ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠

∫ ∫

∫

A

Pour calculer ^J

λ

( ) α nous procédons de façon similaire (en tenant compte cette fois du fait que la fonction carré est dérivable de dérivée continue sur \ et donc, à fortiori, sur l’intervalle [ ^{0 ; α} ] ^{). On a :}

( ) ( )

( )

2 2

0 0

2 0 0

2

2

2 2

2

3 2 3

1 1

2

1 2

2 1 1

2 2 2

x

x x

J t f x dx t e dx

t e t e dx

e I

e e

e

α α λ

λ λ

α α

λ λ

λα λ

λα λα

λα

α

λ λ

α α

λ λ

α α

λ λ λ λ λ

α α

λ λ λ λ

−

− −

−

− −

−

= =

⎡ ⎤

= − ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ +

= − +

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

= − + ⎢ ⎣ − ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ ⎥ ⎦

⎛ ⎞

= − ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

∫

( )

2 2

1 1

I

_λ

α α e

^λα

λ λ λ

⎛ ⎞

−

= − ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ et ^J

λ

( ) ²

₃ ²

²

₂

²

₃

^e

^λα

α α

α λ λ λ λ

⁻

⎛ ⎞

= − ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

c. Comme à la question B.1.b. nous allons distinguer deux cas suivant que λ est strictement positif ou strictement négatif.

On a d’abord : ^I

λ

( ) ^{x 1}

₂

α ¹

₂

^e

^λα

¹

₂

α ¹

₂

^f

λ

( ) α λ ^⎛ λ λ ^⎞

⁻

λ ^⎛ λ λ ^⎞

= − ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ = − ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ .

Si λ < 0 .

On a, comme vu à la question B.1.b. :

α

^{lim f}

λ

( ) α

→+∞

= +∞ .

Par ailleurs : 1

₂

lim lim

α α

α α

λ λ λ

→+∞ →+∞

⎡ − ⎛ ⎜ + ⎞ ⎟ ⎤ = ⎛ ⎜ − ⎞ ⎟ = +∞

⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ .

On en déduit (produit) :

α

^{lim 1}

₂

^f

λ

( )

α α

λ λ

→+∞

⎡ − ⎛ ⎜ + ⎞ ⎟ ⎤ = +∞

⎢ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦ puis

2 2

( )

1 1

lim f

_λ

α

α α

λ λ λ

→+∞

⎡ − ⎛ ⎜ + ⎞ ⎟ ⎤ = +∞

⎢ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦ , soit :

_α

^{lim I}

_λ

( ) α

→+∞

= +∞ .

Si λ > 0 .

On a cette fois :

α

^{lim f}

λ

( ) α ⁰

→+∞

= et 1

₂

lim lim

α α

α α

λ λ λ

→+∞ →+∞

⎡ − ⎛ ⎜ + ⎞ ⎟ ⎤ = ⎛ ⎜ − ⎞ ⎟ = −∞

⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ .

On est donc confronté à une forme indéterminée du type : « ∞× 0 ».

D’après ce qui précède, la forme indéterminée correspond au produit : α e

^λα

λ

⁻

^. On a :

2

e 1

e e

λα

λα λα

α α λ λα

λ

⁻

^{= =} λ On a :

_α

^lim ( ) ^αλ

→+∞

= +∞ . Or, par croissance comparée : lim

_X

0

X

X

→+∞

e = . On en déduit alors (composition) : lim 0

e

^λα

α

λα

→+∞

= .

On a donc :

α

^{lim 1}

₂

^f

λ

( ) ^{0 0 0}

α α

λ λ

→+∞

⎡ − ⎛ ⎜ + ⎞ ⎟ ⎤ = + =

⎢ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦ et, finalement :

α

^{lim I}

λ

( ) α ¹

₂

λ

→+∞

= .

On a, par ailleurs : ^J

λ

( ) ²

₃ ²

²

₂

²

₃

^e

^λα

²

₃ ²

²

₂

²

₃

^f

λ

( )

α α α α

α α

λ λ λ λ

⁻

λ λ λ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⎜ + + ⎟ = − ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ^.

Si λ < 0 .

On a, comme vu à la question B.1.b. :

α

^{lim f}

λ

( ) α

→+∞

= +∞ .

Option Mathématiques Corrigé Par ailleurs :

2 2

2 3

2 2

lim lim

α α

α α α

λ λ λ λ

→+∞ →+∞

⎡ − ⎛ + + ⎞ ⎤ = ⎛ − ⎞ = +∞

⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ .

On en déduit (produit) :

α

^lim

²

²

₂

²

₃

^f

λ

( )

α α α

λ λ λ

→+∞

⎡ − ⎛ + + ⎞ ⎤ = +∞

⎢ ⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦ puis

2

( )

3 2 3

2 2 2

lim f

_λ

α

α α α

λ λ λ λ

→+∞

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

− + + = +∞

⎢ ⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦ , soit :

α

^{lim J}

λ

( ) α

→+∞

= +∞ .

On peut, par exemple, écrire, pour tout réel α non nul :

( )

²

2 2

2 3 2 2 3 2 2

2 2 2 2 1 2 2

1 1

e e

e

λα λα

λα

α α α λα

λ λ λ

⁻

λ αλ α λ

⁻

λ αλ α λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜ ⎝ + + ⎟ ⎠ = − ⎜ ⎝ + + ⎟ ⎠ = − ⎜ ⎝ + + ⎟ ⎠

On a immédiatement : 1

₃

2

₂

2

₂

1

₃

1

₃

lim 1 1

α^→+∞

λ αλ α λ λ λ

⎡ − ⎛ ⎜ + + ⎞ ⎟ ⎤ = − × = −

⎢ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦ et, par croissance

comparée : ( )

²

lim 0

e

^λα

α

λα

→+∞

= . On en déduit alors : ( )

²

3 2 2

1 2 2

lim 1 0

e

^λα

α

λα

λ αλ α λ

→+∞

⎡ − ⎛ + + ⎞ ⎤ =

⎢ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

et, finalement :

α

^{lim 2}

₃ ²

²

₂

²

₃

^f

λ

( ) ²

₃

α α α

λ λ λ λ λ

→+∞

⎡ − ⎛ + + ⎞ ⎤ =

⎢ ⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦ , soit :

α

^{lim J}

λ

( ) α ²

₃

λ

→+∞

= .

Si λ < 0 :

α

^{lim I}

λ

( ) α

α

^{lim J}

λ

( ) α

→+∞

=

→+∞

= +∞ .

Si λ > 0 :

α

^{lim I}

λ

( ) α ¹

₂

λ

→+∞

= et

α

^{lim J}

λ

( ) α ²

₃

λ

→+∞

= .

C.1. a. Le réel λ étant strictement positif et la fonction exponentielle prenant des valeurs strictement positives, on a immédiatement : ∀ ∈ ^x [ ^{0 ;} + ∞ [ ^, ϕ

λ

( ) ^x = λ ^e

^−λx

> ⁰ .

On a : ϕ

_λ

= λ f

_λ

. La continuité de la fonction ϕ

_λ

sur [ ^{0 ; + ∞} [ découle donc directement de celle de la fonction f

_λ

sur cet intervalle.

Pour tout réel x positif, on a, en reprenant les notations et le résultat de la question B.1.a. :

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

1 1 1

x x t x t x

t dt e

^λ

dt e

^λ

dt x e

^λ

f x

λ λ λ

ϕ λ λ λ λ

λ

− − −

= = = = × − = −

∫ ∫ ∫ ^{A .}

Comme le réel λ est strictement positif, on a : ^lim ( ) ⁰

x

f

_λ

x

→+∞

= et donc :

0

( )

lim

^x

1

x

ϕ

_λ

t dt

→+∞

∫ =

Les trois résultats précédents nous permettent de conclure que la fonction ϕ

_λ

est une

densité de probabilité sur l’intervalle [ ^{0 ; + ∞} [ ^.

La fonction ϕ

_λ

est une densité de probabilité sur l’intervalle [ ^{0 ; + ∞} [ ^.

b. Le réel λ étant strictement positif, au regard de l’expression de ϕ

λ

( ) ^x , nous pouvons affirmer que la variable aléatoire X

_λ

suit la loi exponentielle de paramètre λ .

La variable aléatoire X

_λ

suit la loi exponentielle de paramètre λ .

C.2. a. On a : ( ) ( )

0 0

x x t

t ϕ

_λ

t dt = λ te

^−λ

dt = λ I

_λ

x

∫ ∫ ^.

Pour λ > 0 , nous avons vu, à la question B.2.c ; que ^lim ( )

x

I

_λ

x

→+∞

était finie et valait : 1

₂

λ ^. On a donc :

( )

0

( ) ( )

2

1 1

lim

^x

lim

x x

E X

_λ

t ϕ

_λ

t dt λ I

_λ

x λ

λ λ

→+∞ →+∞

= ∫ = = × =

( ) ¹

E X

_λ

= λ

b. On cherche ici, en prenant comme unité de temps la minute, la probabilité

( ^{7 | 2} )

p Y

_λ

≥ Y

_λ

≥ .

On peut procéder de diverses façons.

Dans tous les cas, il peut être utile de rappeler le calcul suivant :

( ) ( )

0

1 1 1

T t

p Y T p Y T

e dt

λ λ

λ

λ

λ

−

≥ = − <

= −

= −

∫

1

− λ

( )

⁰

1 1

T t

T

T

e e e

λ

λ λ

−

−

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − −

=

Option Mathématiques Corrigé On peut alors écrire :

( ) ( )

( )

( )

( )

7 2

2 7

2 2

2 7

2 5 5

7 | 2 1 7 | 2

7 2

1 2

1

1 1

1

1 1

t

t

p Y Y p Y Y

p Y Y

p Y e dt e

e e

e e

e e e

λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ

λ

λ λ

λ λ λ

λ

λ λ

−

−

−

−

− −

−

−

−

≥ ≥ = − < ≥

< ∩ ≥

= − ≥

= −

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= −

= − −

= − −

=

∫

En tenant compte du résultat obtenu à la question précédente, on a :

( ) ^{1 1 5}

E Y

_λ

λ = = . Finalement : ^{p Y} (

λ

^{7 | Y}

λ

² ) ^e

^5λ

^e

^{5 15}

^e

¹

− − × −

≥ ≥ = = = .

On peut également (2

^ème

approche) utiliser le fait que la loi exponentielle est celle d’une variable aléatoire représentant une durée de vie sans vieillissement. On a alors la propriété suivante, valable pour tous réels T et τ positifs : ^{p Y} (

λ

≥ + τ ^{T Y |}

λ

≥ τ ) = ^{p Y} (

λ

≥ ^T ) . D’après la calcul repris ci-dessus, il en découle : ^{p Y} (

λ

≥ + τ ^{T Y |}

λ

≥ τ ) = ^{p Y} (

λ

≥ ^T ) = ^e

^−λT

. En utilisant cette propriété avec τ = 2 et T = 5 , il vient immédiatement :

( ^{2 5 | 2} ) ( ⁵ )

^{515 1}

p Y

_λ

≥ + Y

_λ

≥ = p Y

_λ

≥ = e

^{− ×}

= e

⁻

En définitive :

La probabilité d’attendre encore 5 minutes sachant que l’on a déjà attendu 2 minutes est égale à e

⁻¹

0, 368 .

C.3. On a :

²

( )

²

( )

0 0

x x

t ϕ

_λ

t dt = λ t e

^−λt

dt = λ J

_λ

x

∫ ∫ ^.

Pour λ > 0 , nous avons vu, à la question B.2.c ; que

α

^{lim J}

λ

( ) α

→+∞

était finie et valait : 2

₃

λ ^. On a donc :

( ) ( )

2

3 2

0

2 2

lim

^x

lim

x

t ϕ

_λ

t dt

x

λ J

_λ

x λ

λ λ

→+∞

∫ =

→+∞

= × =

Il vient alors :

( )

²

( ) ( )

²

0 2 2

2 2

2

lim

2 1

2 1

1

x

V X

_λ x

t ϕ

_λ

t dt E X

_λ

λ λ

λ λ

λ

=

→+∞

− ⎡ ⎣ ⎤ ⎦

= − ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

= −

=

∫

( ) ¹

₂

V X

_λ

= λ

Deuxième partie

B.1. Pour tout réel λ , on considère la fonction g

_λ

définie sur \ par :

( )

²

,

^x

x g

_λ

x e

^−λ

∀ ∈ \ =

On peut d’ores et déjà noter que pour λ = 0 , on a : ∀ ∈ x \ , g

0

( ) x = e

^{− ×0 x2}

= e

⁰

= 1 . La fonction g

₀

est la fonction constante prenant la valeur 1 sur \ . Son étude est immédiate.

Dans ce qui suit, on suppose donc λ ≠ 0 .

Le domaine de définition de g

_λ

est symétrique (il s’agit de \ ) et pour tout x réel, on a : ^g

λ

( ) − = ^{x e}

^{− −λ( )x2}

= ^e

^−λx2

= ^g

λ

( ) ^x .

On déduit immédiatement de ce qui précède :

Pour tout réel λ , la fonction g

_λ

est paire.

Déterminons maintenant les limites de la fonction g

_λ

aux bornes de son domaine de définition, c'est-à-dire en −∞ et en +∞ . La fonction g

_λ

étant paire, ces limites, si elles existent, sont égales. On s’intéresse donc par exemple à : ^lim ( )

x

g

_λ

x

→+∞

.

On doit déterminer la limite d’une fonction composée en +∞ . Pour λ > 0 , on a :

_x

^lim

_→+∞

( ^{− λ x}

²

) ^{= −∞ . Or,}

_X

^lim

_→−∞

^e

^X

^{= 0 .}

On en déduit (composition) : lim

^x2

0

x

e

^−λ

→+∞

= .

Option Mathématiques Corrigé Pour λ < 0 , on a :

_x

^lim

_→+∞

( ^{− λ x}

²

) ^{= +∞ . Or,}

_X

^lim

_→+∞

^e

^X

^{= 0 .}

On en déduit (composition) : lim

^x2

x

e

^−λ

→+∞

= +∞ .

Pour λ > 0 , on a : lim

^x2

lim

^x2

0

x

e

^−λ x

e

^−λ

→+∞

=

→−∞

= .

Pour λ < 0 , on a : lim

^x2

lim

^x2

x

e

^−λ x

e

^−λ

→+∞

=

→−∞

= +∞ .

La fonction g

_λ

est la composée de deux fonctions dérivables sur \ (la fonction polynômiale x 6 − λ x

²

et la fonction exponentielle), elle donc elle-même dérivable sur \ . Pour tout x réel, on a :

( )

²

( )

' 2

^x

2

g

_λ

x = − λ x e

^−λ

= − λ x g

_λ

x

Notons, d’emblée, deux choses, la fonction exponentielle prenant des valeurs strictement positives :

• D’une part, la dérivée g

_λ

' ne s’annule que pour x = 0 .

• D’autre part, le signe de ^g

λ

^' ( ) ^x est celui de − 2 λ x . Pour λ > 0 , on a : ^g

λ

^' ( ) ^x > ⇔ − ^{0 2} λ ^x > ⇔ < ^{0 x 0} .

Ainsi, g

_λ

est strictement croissante sur \

₋

et strictement décroissante sur \

₊

. Pour λ < 0 , on a : ^g

λ

^' ( ) ^x > ⇔ − ^{0 2} λ ^x > ⇔ > ^{0 x 0} .

Ainsi, g

_λ

est strictement croissante sur \

₊

et strictement décroissante sur \

₋

. Pour λ > 0 , g

_λ

est strictement croissante sur \

₋

et strictement décroissante sur \

₊

. Pour λ < 0 , g

_λ

est strictement croissante sur \

₊

et strictement décroissante sur \

₋

.

B.2. a. La fonction dérivée g

_λ

' est elle-même dérivable sur \ comme produit de deux fonctions dérivables sur \ (la fonction linéaire x 6 − 2 λ x et la fonction g

_λ

).

Pour tout x réel, on a (dérivation d’un produit) :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2

'' 2 1 '

2 1 2

2 1 2

2 1 2

^x

g x g x x g x

g x x x g x

x g x x e

λ λ λ

λ λ

λ λ

λ

λ λ

λ λ

λ λ

⁻

= − ⎡ ⎣ × + × ⎤ ⎦

= − ⎡ ⎣ × − × ⎤ ⎦

⎡ ⎤

= − ⎣ − ⎦

⎡ ⎤

= − ⎣ − ⎦

( )

²

( )

^{2 2}

, '' 2 1 2 2 1 2

^x

x g

_λ

x λ ⎡ λ x ⎤ g

_λ

x λ ⎡ λ x ⎤ e

^−λ

∀ ∈ \ = − ⎣ − ⎦ = − ⎣ − ⎦

Remarque : cette expression reste valable dans le cas λ = 0 (nullité de toutes les dérivées).

b. Le seul facteur susceptible de pouvoir s’annuler dans l’expression de ^g

λ

^'' ( ) ^x est 1 2 − λ x

2

. L’annulation est possible si, et seulement si, on a : λ > 0 . Dans ce cas :

( )( )

2

1 1

1 2 0 1 2 1 2 0 ou

2 2

x x x x x

λ λ λ

λ λ

− = ⇔ − + = ⇔ = = −

Pour λ > 0 , la courbe Γ

_λ

traverse sa tangente aux points d’abscisses 1 2 λ ^et

1 2 λ

− . Pour λ < 0 , la courbe Γ

_λ

ne traverse jamais sa tangente.

c. Nous fournissons ci-dessous les représentations graphiques de diverses courbes Γ

_λ

(pour les valeurs suivantes du réel λ : 2 − , 1 − , 1

− 4 , 0, 1 8 , 1

2 et 1).

Option Mathématiques Corrigé B.1. a. La fonction F

_λ

est la primitive sur \ s’annulant en 0 de la fonction g

_λ

: t 6 e

^−λt2

,

elle est donc dérivable sur \ et on a :

( ) ( )

²

, '

^x

x F

_λ

x g

_λ

x e

^−λ

∀ ∈ \ = =

b. La fonction ^{x 6 1} _λ ^F

¹

( ) ^{λ x} est dérivable sur \ comme composée de fonctions dérivables sur \ (la fonction linéaire x 6 λ x et, à un facteur près, la fonction F

₁

) et on a, pour tout réel x (en commettant un abus d’écriture … classique) :

( ) ( ) ( ) ^{( )}

^{2 2}

^{( )}

1 1 1

1 1

' '

^{x x}

F λ x λ F λ x g λ x e

^λ

e

^λ

g

_λ

x

λ λ

− −

⎛ ⎞ = × × = = = =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

On en déduit immédiatement que la fonction ^{x 6 1} _λ ^F

¹

( ) ^{λ x} est une primitive sur

\ de la fonction g

_λ

. Or, pour x = 0 , on a : ¹ _λ ^F

¹

( ^{λ × 0} ) ^{= 1} _λ ^F

¹

^{( ) 0 = 0 .}

Ainsi, la fonction ^{x 6 1} _λ ^F

¹

( ) ^{λ x} est la primitive sur \ s’annulant en 0 de la fonction g

_λ

: t 6 e

^−λt2

, il s’agit donc (cf. la question précédente) de la fonction F

_λ

.

( ) ¹

¹

( )

,

x F

_λ

x F λ x

∀ ∈ \ = λ

B.2. Notons dans un premier temps que la fonction F

_λ

est définie sur \ qui est symétrique ( ∀ ∈ x \ , − ∈ x \ ).

Soit alors x un réel strictement positif.

On a : ( )

^{2 0 2}

0

x t t

F

_λ

x

⁻

e

^−λ

dt

x

e

^−λ

dt

− = ∫ = − ∫

−

^.

Comme la fonction g

_λ

: t 6 e

^−λt2

est positive, l’intégrale

^{0 t2}

x

e

^−λ

dt

∫

−

correspond à l’aire sous la courbe de la fonction g

_λ

sur l’intervalle [ ^{− x ; 0} ] . Mais comme la fonction

2

:

^t

g

_λ

t 6 e

^−λ

est paire ce domaine admet la même aire que le domaine sous la courbe de la fonction g

_λ

sur l’intervalle [ ^{0 ; x} ] . En d’autres termes :

^{0 2 2}

0

t x t

x

e

^−λ

dt e

^−λ

dt

−

=

∫ ∫ ^.

Finalement : ( )

^{0 2 2}

( )

0

t x t

x

F

_λ

x e

^−λ

dt e

^−λ

dt F

_λ

x

− = − ∫

−

= − ∫ = − ^.

Si x est cette fois un réel strictement négatif, on se ramène à la situation précédente en posant, par exemple : X = − x . On a alors, d’après ce qui précède :

( ) ( ) ( ) ( )

F

_λ

− = x F

_λ

X = − F

_λ

− X = − F

_λ

x

Pour x = 0 , on a trivialement : ^F

λ

( ) − = ^{0 F}

λ

( ) ⁰ = = − ^{0 F}

λ

( ) ⁰ .

En définitive, la fonction F

_λ

est définie sur \ et on a : ∀ ∈ ^x \ ^{, F}

λ

( ) − = − ^{x F}

λ

( ) ^x . D’où :

La fonction F

_λ

est impaire.

B.3. On a vu à la question B.1.a. que la fonction F

_λ

admettait pour dérivée sur \ la fonction g

_λ

: t 6 e

^−λt2

. Or, celle-ci, du fait de la fonction exponentielle, prend, quelle que soit la valeur du réel λ , des valeurs strictement positives. D’où :

La fonction F

_λ

est strictement croissante sur \ .

B.4. a. Soit t un réel supérieur ou égal à 1

λ . On souhaite comparer ^g

λ

( ) ^t = ^e

^−λt2

et e

^−t

. La fonction exponentielle étant strictement croissante sur \ , il suffit de comparer les réel λ t

²

et t pour pouvoir conclure.

On a : 1

1

t λ t

≥ λ ⇔ ≥ . Comme t est strictement positif : 1

²

1

t λ t λ t t

≥ λ ⇔ ≥ ⇒ ≥ . Enfin : λ t

²

≥ ⇔ − t λ t

²

≤ − ⇔ t e

^−λt2

≤ e

^−t

.

On a bien :

1 ( )

,

^t

t g

_λ

t e λ

∀ ≥ ≤

−

b. Soit x un réel supérieur à 1

λ ^{. On a :}

( )

^{2 1 2} 1 ²

0 0

1

^x _{t t} ^x _t

F

_λ

x F

_λ

e

^λ

dt

^λ

e

^λ

dt e

^λ

dt λ

λ

− − −

− ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∫ − ∫ = ∫

Puisque nous travaillons sur l’intervalle 1

; x λ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ , nous pouvons utiliser le résultat de la question précédente et les intégrales sont rangées comme les fonctions :

( )

1 ² 1

1

^x _t ^x _t

F

_λ

x F

_λ

e

^λ

dt e dt

λ λ

λ

− −

− ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∫ ≤ ∫

( )

1

1 1

,

^{x t}

t F

_λ

x F

_λ

e dt

λ λ

λ

⎛ ⎞

−

∀ ≥ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤ ∫

Option Mathématiques Corrigé Le calcul de l’intégrale

₁^x

e dt

^t

λ

∫

−

ne pose pas de problème :

1 1

1 1

x t t x x x

e dt e e e

^λ

e

^λ

e

λ λ

− −

−

= − ⎡ ⎣

−

⎤ ⎦ = −

−

− − ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ = −

−

∫

Comme

1 1

e

^−λ

− e

⁻x

≤ e

^−λ

, il vient :

( )

1 ^{1 1}

1 1

,

^{x t x}

x F

_λ

x F

_λ

e dt e

^λ

e e

^λ

λ λ

λ

− −

− −

∀ ≥ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤ ∫ = − ≤

Finalement, on a bien :

( )

¹

1 1

,

x F

_λ

x F

_λ

e

^λ

λ λ

⎛ ⎞

−

∀ ≥ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ +

c. Pour tout entier naturel n non nul, on pose u

n

= F n

_λ

( ) .

La fonction F

_λ

étant strictement croissante sur \ , on en déduit immédiatement qu’il en va de même pour la suite ( ) u

n

.

A la question précédente, nous avons établi : ^t λ ^{1 , F}

λ

( ) ^{x F}

λ

λ ^{1 e}

^λ1

⎛ ⎞

−

∀ ≥ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ^{. Ainsi,}

pour tout entier naturel n tel que 1

n ^≥ λ , on aura : u

n

F n

_λ

( ) F

_λ

¹ e

^1λ

λ

⎛ ⎞

−

= ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ^. On en déduit immédiatement que la suite ( ) u

n

est majorée (attention ! pas nécessairement par

1

1

F

_λ

e

^λ

λ

⎛ ⎞ +

−

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ puisque cette majoration n’est pas valable pour tous les u

_n

! En revanche, les u

_n

dont le rang vérifie 1

n ^< λ sont en nombre fini, on peut donc, eux aussi, les majorer).

Puisque la suite ( ) u

n

est croissante et majorée, elle est convergente.

La suite ( ) u

n

admet une limite finie en +∞ .

d. Rappelons que, à la question B.1.b. nous avons établi la relation, valable pour tout

réel x : ^F

^λ

( ) ^{x = 1} _λ ^F

¹

( ) ^{λ x .}

On a immédiatement :

( )

composition

( )

1 1

1 1

lim

lim lim

x

x X

x

F x L

F X L

λ λ

→+∞

→+∞

→+∞

= +∞ ⎪ ⎫ ⎬ ⇒ =

= ⎪⎭

Comme : lim

1

( )

1

x

F x L

→+∞

= , il vient alors :

( ) ¹

¹

( )

_x

^{lim ( ) 1}

_x

^lim

¹

( ) ¹

¹

F

_λ

x F λ x F

_λ

x F λ x L

_λ

L

λ

^→+∞

λ

^→+∞

λ

= ⇒ = ⇔ =

1

L

_λ

1 L

= λ

e. A la question B.4.b. on a vu que l’on avait : ^x λ ^{1 , F}

λ

( ) ^{x F}

λ

λ ^{1 e}

^1λ

⎛ ⎞

−

∀ ≥ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤ ^.

Mais comme la fonction F

_λ

est strictement croissante sur \ , on a, plus précisément :

( )

¹

1 1

, 0

x F

_λ

x F

_λ

e

^λ

λ λ

⎛ ⎞

−

∀ ≥ ≤ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤

Comme ^lim ( ) ^{1 1}

x

F

_λ

x F

_λ

L

_λ

F

_λ

λ λ

→+∞

⎡ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎤ = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ , on obtient bien, après passage à la

limite dans la double inégalité :

1

1

0 L

_λ

F

_λ

e

^λ

λ

⎛ ⎞

−

≤ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤

f. On utilise directement le résultat de la question précédente avec 1 λ = 2 :

( )

²

1 1

2 2

0 ≤ L − F 2 ≤ e

⁻

( )

^{2 122}

1 0

2

2

^t

F = ∫ e

⁻

dt est une valeur approchée de

₁

2

L à e

⁻²

près.

g. A la question B.4.d. on a établi l’égalité : 1

₁

L

_λ

L

= λ . On a donc, en particulier :

_{1 1 1}

2

1 2

1 2

L = L = L , soit :

_{1 1}

2

1

L = 2 L .

Option Mathématiques Corrigé

On en tire alors :

_{1 1}

2

1 1 1 1 1 1

2 2

2 2

L

_λ

L L π π

λ λ λ λ

= = = = .

1 L

_λ

2 π

= λ

C.1. a. La fonction Ψ est définie sur \ . Par ailleurs, pour tout x réel, on a :

( )

^{( )}

( )

2 2

2 2

1 1

2 2

x x

x e e x

Ψ Ψ

π π

−− −

− = = =

La fonction Ψ est paire.

b. On a : ( ) ( )

2 2

1 2

1 1

2 2

x

x e g x

Ψ π π

=

−

= .

La fonction exponentielle prenant des valeurs strictement positives, il en va de même pour la fonction Ψ .

La fonction Ψ est continue sur \ comme composée de fonctions continues sur \ . Intéressons-nous maintenant aux intégrales : ∫

_−∞⁰

^Ψ ( ) ^{t dt et} ∫

0^+∞

Ψ ^{( )} t dt ^.

Pour tout x réel positif, on a :

( )

1

( )

1

( )

1

( )

0 0 0

2 2 2

1 1 1

2 2 2

x x x

t dt g t dt g x dt F x

Ψ ⁼ π ⁼ π ⁼ π

∫ ∫ ∫ ^.

On a alors, en utilisant les derniers résultats de la partie B. :

( )

1

( )

1

( )

1

0 2 2 2

1 1 1 1 1

lim lim lim

2 2

2 2 2 2

x

x

Ψ t dt

x

F x

x

F x L π

π π π π

→+∞

∫ =

→+∞

=

→+∞

= = =

La fonction Ψ étant paire, on a immédiatement, pour tout réel x négatif (symétrie des domaine par rapport à l’axe des ordonnées) :

( ) ( )

0

0 x

x

Ψ t dt =

⁻

Ψ t dt

∫ ∫

On en déduit immédiatement :

( ) ( ) ( )

0

0 0

lim lim lim 1

2

x X

x

x

Ψ t dt

x ⁻

Ψ t dt

X

Ψ t dt

→−∞

∫ =

→−∞

∫ =

→+∞

∫ =

Ainsi, ^lim

₀

( ) ¹

2

x

x

Ψ t dt

→+∞

∫ = ^,

x

^lim

x⁰

Ψ ^{( )} t dt ¹ ₂

→−∞

∫ = ^et lim

0^x

^{( )} lim

⁰

^{( )} 1

x

Ψ t dt

x x

Ψ t dt

→+∞

∫ +

→−∞

∫ = ^.

D’après les trois résultats précédents (positivité, continuité et limites des intégrales), on peut conclure :

La fonction Ψ est une densité de probabilité sur \ .

C.2. Notons, dans un premier temps que la fonction ^{t 6 t Ψ} ( ) ^t est impaire comme produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire, toutes deux définies sur \ .

Pour tout x réel positif, on a :

( )

2 2 2 02 2

2 2 2 2 2

0 0

0

1 1 1 1

1

2 2 2 2

t t x x x

x x

t Ψ t dt t e dt e e e e

π π π π

−

⎡

−

⎤ ⎡

−

⎛

−

⎞ ⎤ ⎛

−

⎞

= = ⎢ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎥ ⎦ = ⎢ ⎢ ⎣ − − − ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎜ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎟ ⎠

∫ ∫

On a alors :

2

lim 2

x

x

→+∞

⎛ ⎞

− = −∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^{. Or,} lim

^X

0

X

e

→−∞

= donc :

2

lim

2

0

x

x

e

⁻

→+∞

= et, finalement :

0

( )

lim 1

2

x

x

t Ψ t dt

π

→+∞

∫ =

En tenant compte du fait que la fonction ^{t 6 t Ψ} ( ) ^t est impaire, on a alors, pour tout x

réel négatif : ( ) ( )

2 2

0 2 2

0

1 1

1 1

2 2

x x

x

x

t Ψ t dt t Ψ t dt e e

π π

− −

⎡ ⎛ ⎞ ⎤ − ⎛ ⎞

= − = − ⎢ ⎢ ⎣ ⎜ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎜ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎟ ⎠

∫ ∫ ^.

D’où : ^lim

⁰

( ) ¹

x

2

x

t Ψ t dt

π

→−∞

∫ = − ^.

Finalement : ( ) ( )

⁰

( )

0

1 1

lim lim 0

2 2

x

x x x

E X t Ψ t dt t Ψ t dt

π π

→+∞ →−∞

= ∫ + ∫ = − = ^.

( ) ⁰

E X =

C.3. a. On a : ( ^{X < 2} ) ( ^{∪ ≤ 2 X ≤ a} ) ( ^{= X ≤ a} ) . D’où, les événements ( ^{X < 2} ) ^et ( ^{2 ≤ X ≤ a} ) étant disjoints : ^{P X} ( ^{< 2} ) ^{+ P} ( ^{2 ≤ X ≤ a} ) ^{= P X} ( ^{≤ a} ) ^{puis :}

( ) ( ) ( )

( )

²

( )

2 2

lim

^a

lim

x x

x x

P X a P X a P X

t dt t dt

Ψ Ψ

→−∞ →−∞

≤ ≤ = ≤ − <

= ∫ − ∫

Mais, pour tout réel x, on a, d’après la relation de Chasles :

( )

⁰

( )

₀

( )

a a

x

Ψ t dt =

x

Ψ t dt + Ψ t dt

∫ ∫ ∫ ^et ∫

x²

Ψ ^{( )} t dt = ∫

x⁰

Ψ ^{( )} t dt + ∫

0²

Ψ ^{( )} t dt

Option Mathématiques Corrigé Ainsi :

( )

⁰

( )

0

( )

1 0

( )

2

lim lim 1

2

a a a

x x

x

Ψ t dt

x

Ψ t dt Ψ t dt L Ψ t dt

π

→−∞

∫ =

→−∞

∫ + ∫ = + ∫

( ) ( ) ( ) ( )

2 0 2 2

0 1 0

2

lim lim 1

2

x x

x

Ψ t dt

x

Ψ t dt Ψ t dt L Ψ t dt

π

→−∞

∫ =

→−∞

∫ + ∫ = + ∫

Il vient alors :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2

1 0 1 0

2 2

2

0 0

2

2 lim lim

1 1

2 2

a

x x

x x

a

a

a

P X a t dt t dt

L t dt L t dt

t dt t dt

t dt

Ψ Ψ

Ψ Ψ

π π

Ψ Ψ

Ψ

→−∞ →−∞

≤ ≤ = −

⎛ ⎞

= + − ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

= −

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

D’où :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

0 0

2

1 1

2 2

1 1

2 2

2

1 1

2 2

1 2

2

a

a

a a

P X a t dt t dt

g t dt g t dt

F a F

Ψ Ψ

π π

π

≤ ≤ = −

= −

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

A la question B.4.b. on avait montré que pour tout réel x supérieur ou égal à 1 λ ^{, on} avait : ^F

λ

( ) ^{x F}

λ

λ ^{1 e}

^λ1

⎛ ⎞

−

− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤ ^.

Avec 1

λ = 2 , on a donc, pour tout réel a supérieur ou égal à 1 λ ⁼ 2 ^:

( ) ( )

²

1 1

2 2

2 F a − F ≤ e

⁻

On en déduit : ( )

1

( )

1

( )

²

2 2

1 1

2 2

2 2

P X a F a F e

π π

⎛ ⎞

−

≤ ≤ = ⎜ − ⎟ ≤

⎝ ⎠ ^.

( ) ¹

²

2, 2

2

a P X a e

π

∀ ≥ ≤ ≤ ≤

−

b. On a : ( ^{0 ≤ X < 2} ) ( ^{∪ ≤ 2 X ≤ a} ) ( ^{= 0 ≤ X ≤ a} ) . D’où, les événements ( ^{0 ≤ X < 2} )

et ( ^{2 ≤ X ≤ a} ) étant disjoints : ^P ( ^{0 ≤ X < 2} ) ^{+ P} ( ^{2 ≤ X ≤ a} ) ^{= P} ( ^{0 ≤ X ≤ a} ) ^.