On appelle fonction polynôme toute fonction f définie sur R par : f (x) = a

Polynômes du second degré

1/ Généralités sur les polynômes

a) Définition

On appelle fonction polynôme toute fonction f définie sur R par : f (x) = a

x

+ a

x

+ · · · + a

x + a

où a

, a

, . . ., a

sont des réels donnés.

Définition

Exemple :x7→ −x³−5x²+ 7x−1est un polynôme.x7→ x⁴−4

x²+ 2 n’est pas un polynôme.

b) Propriétés (admises)

1/ Soit P le polynôme défini par P (x) = a

x

+ a

x

+ · · · + a

x + a

. P est le polynôme nul ⇐⇒ a

= a

= · · · = a

= 0.

2/ Soient P et Q les polynômes définis par P (x) = a

x

+ a

x

+ · · · + a

x + a

et Q(x) = b

x

+ b

x

+ · · · + b

x + b

avec a

6 = 0 et b

6 = 0.

P = Q ⇐⇒

(

n = p

a

= b

; a

= b

; · · · a

= b

Propriété

Conséquence : L’écriture d’un polynôme est unique.

Exemple : Si, pour toutx∈R,ax³+bx²+cx+d= 2x³−x+ 2alorsa= 2, b= 0,c=−1etd= 1.

c) Degré

Soit P un polynôme défini par P(x) = a

x

+ a

x

+ · · · + a

x + a

avec a

6 = 0.

Le nombre n est appelé degré de P . Définition

Exemple :x7→ −x³−5x²+ 7x−1est un polynôme de degré 3.x7→3x−x⁵ est un polynôme de degré 5.

d) Racines d’une fonction

Soit f une fonction. On appelle racine de f toute solution de l’équation f (x) = 0.

Définition

Exemple : 1 est une racine dex7→ −x³−5x²+ 7x−1. 0 est une racine dex7→3x−x⁵.

2/ Polynômes du second degré

Dans tout le paragraphe, P désigne un polynôme défini par P (x) = ax

+ bx + c avec a 6 = 0.

a) Forme canonique

Il existe des réels α et β tels que :

Pour tout x ∈ R , P (x) = a (x + α)

+ β

. Cette écriture est appelée forme canonique de P .

Propriété et définition

Remarque : On appelle parfois forme canonique l’écriture de P sous la forme P (x) = a(x + α)

+ γ

Démonstration

P (x) = ax

+ bx + c = a

x

+ b a x + c

a

= a

x + b 2a

²

− b

4a

+ c

a

!

= a

x + b 2a

²

+ − b

+ 4ac 4a

!

Exemple : Écrire la forme canonique du polynôme défini parP(x) = 2x²+ 4x+ 6.

P(x) = 2x²+ 4x+ 6 = 2 x²+ 2x+ 3

= 2 (x+ 1)²−1 + 3

= 2 (x+ 1)²+ 2

b) Discriminant

On appelle discriminant de P le réel ∆ défini par ∆ = b

− 4ac.

Définition

Exemple : Calculer le discriminant du polynôme défini parP(x) = 2x²+ 4x+ 6.

∆ = 4²−4×2×6 = 16−48 =−32.

c) Racines

Les racines de P peuvent être déterminée de la façon suivante : – Si ∆ < 0 alors P n’a pas de racine réelle.

– Si ∆ = 0 alors P admet une racine réelle : − b 2a . – Si ∆ > 0 alors P admet deux racines réelles : − b − √

∆

2a et − b + √

∆

2a .

Propriété

Démonstration P (x) = a

x + b

2a

+ − b

+ 4ac 4a

!

= a

x + b 2a

²

− ∆ 4a

!

– Si ∆ < 0 alors

x + b 2a

²

− ∆

4a

> 0 donc pour tout x, P (x) 6 = 0.

– Si ∆ = 0 alors P(x) = a

x + b 2a

²

donc P (x) = 0 ⇐⇒ x = − b 2a . – Si ∆ > 0 alors P(x) = a

x + b

2a

−

√ ∆ 2a

!

x + b

2a

+

√ ∆ 2a

!

donc

P (x) = 0 ⇐⇒

x + b

2a

−

√ ∆

2a = 0 ou

x + b 2a

+

√ ∆ 2a = 0

⇐⇒ x = − b + √

∆

2a ou x = − b + √

∆ 2a

Exemple : Déterminer les racines deP etQdéfinis par

P(x) = 2x²+ 4x+ 6 et Q(x) =−x²−2x+ 1

PourP : ∆ =−32<0 doncP n’a pas de racine.

PourQ: ∆ = (−2)²−4×(−1)×1 = 4 + 4 = 8>0 doncQadmet deux racines :

x1=−(−2)−√ 8

2×(−1) = 2−2√ 2

−2 =−1 +√ 2

x2=−(−2) +√ 8

2×(−1) = 2 + 2√ 2

−2 =−1−√ 2

d) Liens entre coefficients et racines

Si P admet deux racines x

et x

alors







r

+ r

= − b a r

r

= c

a Propriété

Démonstration x

+ x

= − b − √

∆

2a + − b + √

∆

2a = − 2b 2a = − b

a x

x

= − b − √

∆

2a × − b + √

∆

2a = ( − b)

− ∆

4a

= b

− b

+ 4ac 4a

= 4ac

4a

= c a

e) Factorisation

– Si ∆ < 0 alors P ne peut pas être factorisé.

– Si ∆ = 0 alors P(x) = a

x + b 2a

²

– Si ∆ > 0 alors P(x) = a(x − x

)(x − x

) où x

et x

sont les racines de P .

Propriété

Démonstration

Le premier résultat s’obtient en remarquant que si P pouvait se factoriser, on au- rait deux facteurs du premier degré auquel cas l’équation P (x) = 0 admettrait au moins une solution, ce qui est contradictoire avec le résultat obtenu précédemment.

Les deux autres résultats ont été obtenus dans le cours de la démonstration pré- cédente.

Exemple : FactoriserP etQdéfinis par

P(x) = 2x²+ 4x+ 6 et Q(x) =−x²−2x+ 1

PourP : ∆ =−32<0 doncP ne peut pas se factoriser.

PourQ: Les racines sont−1 +√

2 et−1 +√

2 doncP(x) =−(x+ 1−√

2)(x+ 1 +√ 2).

f) Signe

– Si ∆ < 0 alors x −∞ + ∞

Signe de P (x) Signe de a

– Si ∆ = 0 alors x −∞ −

+ ∞

Signe de P (x) Signe de a 0 Signe de a – Si ∆ > 0 alors

x −∞ x

x

+ ∞

Signe de P (x) Signe de a 0 Signe de − a 0 Signe de a où x

et x

sont les racines de P et x

< x

Propriété

Démonstration – Si ∆ < 0 alors

x + b

2a

− ∆

4a

> 0 donc P (x) est du signe de a.

– Si ∆ = 0 alors P(x) = a

x + b 2a

²

qui est du signe de a sauf pour − b 2a . – Si ∆ > 0 alors P (x) = a(x − r

)(x − r

) où r

et r

sont les racines de P . On

peut donc dresser le tableau de signe suivant :

x −∞ x

x

+ ∞

a Signe de a Signe de a Signe de a

x − x

− 0 + +

x − x

− − 0 +

Signe de P (x) Signe de a 0 Signe de − a 0 Signe de a

Exemple : Déterminer le tableau de signe deP etQdéfinis par

P(x) = 2x²+ 4x+ 6 et Q(x) =−x²−2x+ 1

PourP : ∆>0 donc

x −∞ +∞

Signe deP(x) + PourQ: Les racines sont−1−√

2 et−1 +√

2 et de plus−1<0 donc

x −∞ −1−√

2 −1 +√

2 +∞

Signe deP(x) − 0 + 0 −

g) Représentation graphique

Soit (O; − → ı , − →  ) un repère du plan.

La représentation graphique de P est l’image par la translation de vecteur − → u −

−

!

de la parabole représentant la fonction x 7→ ax

. C’est donc une parabole de sommet S

−

; P ( −

)

.

Propriété

Illustration :

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

Factorisation de P (x) a(x − x

)(x − x

) a(x − x

)

pas de factorisation Équation P(x) = 0 2 solutions x

et x

une solution x

pas de solution

a > 0

−

b 2a

P(−2a^b)

x1 x2

x₀=−

b 2a

−

b 2a

P(−2a^b)

a < 0

P(−2a^b)

x₁ x₂

x₀=−

b 2a

−

b 2a

P(−2a^b)