1S/Cours Exercices Polynomes.doc.1
07/12/02
Polynômes
Exercice 1
Soit f la fonction polynôme définie par f(x) = 2x3 – 27x2 + 76x + 45.
1) Calculer f(5).Que peut-on déduire de ce résultat ? 2) Factoriser l’expression f(x) par (x – 5).
3) Terminer la factorisation de f(x).
Exercice 2
Résoudre dans ! : x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 = 0.
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur ! par f(x) = x3 −2x2 +x−2 et g la fonction définie sur ! par g(x) = x – 2.
1) Factoriser f(x).
2) h(x) =
f(x)
g(x) définit-il une fonction polynôme h ?
Exercice 4
Soit f la fonction définie sur ! par f(x) = 4x4 −8x3 −2x+4. Factoriser f(x) au maximum.
Exercice 5
Montrer que P(x) = (x – 2)2n + (x – 1)n – 1, pour tout x de !, est factorisable par (x − 2)(x – 1).
Exercice 6
P(x) est un polynôme de degré 3 telle que P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9.
1) Soit, pour tout x de !, Q(x) = P(x) – x2. Démontrer qu’il existe un réel k tel que : Q(x) = k(x−1)(x−2)(x−3).
2) Sachant que P(0) = 12, déterminer k, puis exprimer P(x) suivant les puissances décroissantes.
Exercice 7
1) Factoriser : X2 − 7X +12.
2) En posant X = x2 factoriser x4 − 7x2+ 12 sous forme d’un produit de quatre facteurs de degré 1.
3) Résoudre l’équation x4 − 7x2 + 12 = 0.
Exercice 8
Soit f définie sur ! par : f(x) = 9x4 −30x3 +25x2 et g définie sur ! par g(x) = 6x2 −10x. 1) Factoriser (f + g)(x).
2) Résoudre dans ! (f + g)(x) = 0.
Exercice 9
1) Résoudre dans ! l'équation x3 −2x+1=0.
2) Soit l'équation (E) : x3+15x2 +73x+116=0. Posons x= X +a. Ecrire l'équation (E') vérifiée par X.
3) Comment faut-il choisir a pour que le coefficient de X2 dans (E') soit nul ? Que devient alors l'équation (E') ?
4) Utiliser ces résultats pour résoudre (E).
