f est la fonction définie sur par f (x) 2x

f est la fonction définie sur par f( x) 2x

15

2 x² 8 x 6. La courbe de f dans un repère orthogonal admet- elle des tangentes passant par l origine ?

Les commentaires oraux sont en vert.

Soit a un réel.

Une équation de la tangente à C

au point d abscisse a est y f (a )(x a ) f (a ).

f est dérivable sur . f (x ) 6 x² 15 x 8.

Ainsi, une équation de la tangente T

à C

au point d abscisse a est y (6a ² 15a 8)(x a ) 2a

15

2 a ² 8a 6.

On cherche pour quelles valeurs de a T

passe par l origine. T

passe par l origine si lorsqu on remplace x par 0 dans son équation, on obtient y 0.

T

passe par l origine ssi 0 (6a² 15 a 8)(0 a) 2 a

15

2 a² 8 a 6 ssi 0 6 a

15a ² 8a 2 a

15

2 a ² 8 a 6 ssi 4a

15

2 a² 6 0 On cherche donc si l équation 4a

15

2 a ² 6 0 d inconnue a admet des solutions. Lorsqu on cherche si une équation a des solutions, sans vouloir déterminer ces solutions, on pense au TVI. Il faut alors se ramener à un problème du type : "on a une fonction g et on cherche le nombre de sol de l équation g(x)=k où k est un réel".

Pour se ramener à cette situation, on remplace les a par des x et on définit une fonction g.

Soit g la fonction définie sur par g( x) 4 x

15

2 x² 6. On cherche le nombre de solutions de l équation g( x) 0.

La fonction g est dérivable sur . g (x ) 12 x² 15x 3 x( 4 x 5).

g (x ) est un trinôme de racines 0 et 5

4 (car 3 x 0 pour x 0 et 4x 5 0 pour x 5

4 ) et le coeff de x² est 12 0.

On a donc le tableau de variations :

x 0 5/4 +

signe de g ( x) +

variations de g 317

32

6 lim

x

f(x ) lim

x

4x

et lim

x

f( x) lim

x

4x

Sur  

  5

4 , le minimum de g est 6 donc l équation g( x) 0 n a pas de solution dans cet intervalle.

Sur  

  5

4 , g est continue et strictement décroissante avec g

 

  5 4

317 32 , lim

x

g (x) et 0  

  317

32 . Alors l équation g( x) 0 admet une unique solution dans cet intervalle.

Ainsi, l équation g (x ) 0 admet une unique solution dans . Il existe donc un unique réel a tel que 4a

15

2 a ² 6 0

La courbe de f admet donc une unique tangente passant par l origine.

A la calculatrice, on trouve a 2,2. La tangente à la courbe au point d abscisse a 2,2 passe par l origine.

Graphiquement :