CONVEXITE. EXERCICES.
I. f est la fonction définie sur [0 [ par f (x ) x . On note C sa courbe représentative dans un repère.
1. Rappeler la convexité de f.
2. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 1.
3. En déduire que pour tout x de [0 [, x 1 2 x 1
2 . 4. En déduire sans calculatrice que 2 1,5.
II. f est la fonction définie sur par f (x ) x
35x ² 5x 1 et C
fest sa courbe représentative dans un repère.
1. Déterminer une équation de la tangente T à C
fau point d abscisse 2.
2. Etudier de deux façons la position relative de T et C
f.
III. Dans chaque cas, étudier la convexité de la fonction f sur son ensemble de définition et préciser les points d'inflexions éventuels.
1. f( x) x
412 x
36x ² 4 sur . 2. f( x) (2 x 4) e
xsur .
3. f( x) xln ( x) 2x sur ]0 [.
IV. Dans un repère, on a tracé la courbe C représentative de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f( x) x
36xln( x) ainsi que la tangente T à C au point d’abscisse 1
1. Conjecturer la convexité de f et les coordonnées d’éventuels points d'inflexion.
2. Démontrer par le calcul les conjectures de la question 1.
3. En déduire que :
* pour tout x de ]0 ; 1], 6x ln(x ) x
33 x 4.
* pour tout x de [1 ; + [,6xln( x) x
33 x 4.
4. En déduire sans calculatrice que ln2 5 6 .
V. f est une fonction deux fois dérivable sur . On note f sa dérivée et f sa
dérivée seconde. La courbe représentative de la fonction f notée
Cfest donnée ci-contre. la droite T est tangente à la courbe C
fau point d abscisse 0.
1. Par lecture graphique :
a.Résoudre f ( x) 0.
b.
Résoudre f (x) 0.
c.
Déterminer f (0).
2. Une des quatre courbes C1, C2, C3 et C4 ci-contre est la courbe représentative de la fonction f et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde f″.
a.
Déterminer la courbe qui représente f et celle qui représente f . Justifier.
b.
Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave. Justifier.
c.