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I. f est la fonction définie sur [0 [ par f (x ) x . On note C sa courbe représentative dans un repère.

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Academic year: 2022

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(1)

CONVEXITE. EXERCICES.

I. f est la fonction définie sur [0 [ par f (x ) x . On note C sa courbe représentative dans un repère.

1. Rappeler la convexité de f.

2. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 1.

3. En déduire que pour tout x de [0 [, x 1 2 x 1

2 . 4. En déduire sans calculatrice que 2 1,5.

II. f est la fonction définie sur par f (x ) x

3

5x ² 5x 1 et C

f

est sa courbe représentative dans un repère.

1. Déterminer une équation de la tangente T à C

f

au point d abscisse 2.

2. Etudier de deux façons la position relative de T et C

f

.

III. Dans chaque cas, étudier la convexité de la fonction f sur son ensemble de définition et préciser les points d'inflexions éventuels.

1. f( x) x

4

12 x

3

6x ² 4 sur . 2. f( x) (2 x 4) e

x

sur .

3. f( x) xln ( x) 2x sur ]0 [.

IV. Dans un repère, on a tracé la courbe C représentative de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f( x) x

3

6xln( x) ainsi que la tangente T à C au point d’abscisse 1

1. Conjecturer la convexité de f et les coordonnées d’éventuels points d'inflexion.

2. Démontrer par le calcul les conjectures de la question 1.

3. En déduire que :

* pour tout x de ]0 ; 1], 6x ln(x ) x

3

3 x 4.

* pour tout x de [1 ; + [,6xln( x) x

3

3 x 4.

4. En déduire sans calculatrice que ln2 5 6 .

V. f est une fonction deux fois dérivable sur . On note f sa dérivée et f sa

dérivée seconde. La courbe représentative de la fonction f notée

Cf

est donnée ci-contre. la droite T est tangente à la courbe C

f

au point d abscisse 0.

1. Par lecture graphique :

a.

Résoudre f ( x) 0.

b.

Résoudre f (x) 0.

c.

Déterminer f (0).

2. Une des quatre courbes C1, C2, C3 et C4 ci-contre est la courbe représentative de la fonction f et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde f″.

a.

Déterminer la courbe qui représente f et celle qui représente f . Justifier.

b.

Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave. Justifier.

c.

La courbe représentative de la fonction f admet-elle un point d inflexion ? Justifier.

(2)

VI. Métropole juin 2015.

On considère la fonction f définie sur ]0 [ par f( x) 3x 3x ln(x ).

On note C

f

sa courbe représentative dans un repère orthonormé et T la tangente à C

f

au point d’abscisse 1.

Quelle est la position relative de C

f

par rapport à T ?

VII. Pondichéry avril 2013.

VIII. Polynésie juin 2013.

(3)

IX. Avec un logiciel de calcul formel.

Pour étudier la fonction f définie sur par f (x ) e

x

1 x ² , on utilise un logiciel de calcul formel :

1. Justifier que f est strictement positive sur . 2. Montrer que f est croissante sur .

3. Montrer que f est convexe sur [1 [.

4. f est-elle concave sur ] 1] ?

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