Seconde 1 Exercices sur le chapitre 19 : E5. 2007 2008
E5 Etude d'une fonction trinôme.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 2x² − 4x + 9.
1. a. Soit x un nombre réel.
alors 2 ( x − 1 )² + 7 = 2 ( x² − 2x + 1 ) + 7 = 2x² − 4x + 2 + 7 = 2x² − 4x + 9 = f ( x ).
Donc pour tout x réel, on a f ( x ) = 2 ( x − 1 )² + 7.
b. Le procédé de calcul permettant de passer de x à f ( x ) est :
Prendre un nombre x, lui retrancher 1, mettre le résultat au carré, multiplier le tout par 2 et enfin ajouter 7.
2. a. Déterminons le sens de variation de f sur ] - ∞ ; 1 ].
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle ] - ∞ ; 1 ] tels que x1 < x2 ≤ 1.
Alors x1 − 1 < x2 − 1 ≤ 0. Car ajouter - 1 ne change pas le sens des inégalités.
Alors ( x1 − 1 )² > ( x2 − 1 )² ≥ 0. Car la fonction carrée est strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ].
Donc 2 ( x1 − 1 )² > 2 ( x2 − 1 )² ≥ 0. Car multiplier par 2 ne change pas le sens des inégalités.
Donc 2 ( x1 − 1 )² + 7 > 2 ( x2 − 1 )² + 7 ≥ 7. Car ajouter 7 ne change pas le sens des inégalités.
D'où f ( x1 ) > f ( x2 ). Ainsi la fonction f est strictement décroissante sur ] - ∞ ; 1 ].
b. Déterminer le sens de variation de f sur [ 1 ; + ∞ [.
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle ] 1 ; + ∞ ] tels que 1 ≤ x1 < x2
Alors 0 ≤ x1− 1 < x2− 1 Car ajouter - 1 ne change pas le sens des inégalités.
Alors 0 ≤ ( x1 − 1 )² < ( x2 − 1 )² Car la fonction carrée est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
Donc 0 ≤ 2 ( x1 − 1 )² < 2 ( x2 − 1 )² Car multiplier par 2 ne change pas le sens des inégalités.
Donc 7 ≤ 2 ( x1 − 1 )² + 7 < 2 ( x2 − 1 )² + 7 Car ajouter 7 ne change pas le sens des inégalités.
D'où f ( x1 ) < f ( x2 ). Ainsi la fonction f est strictement croissante sur ] - ∞ ; 1 ].
