Graphe de la fonction gaussienne définie sur R par f : x 7→ e

Transformation de graphes

Exercice

Graphe de la fonction gaussienne définie sur R par f : x 7→ e

2 2

:

x y

y=f(x)

Exercice

Tracer le graphe de la fonction x 7→ f (2x ) − 2 pour la fonction gaussienne.

Tracer le graphe de la fonction x 7→ f (−

) pour la fonction inverse

(deux méthodes).

Transformation de graphes

Définition (Parité)

Soit f une fonction numérique définie sur D

, on dit que

I

f est une fonction paire si pour tout réel x de D

on a f (−x ) = f (x ) ;

I

f est une fonction impaire si pour tout réel x de D

on a

f (−x ) = −f (x ).

Transformation de graphes

Propriété (Graphe des fonctions paires et impaires)

Une fonction est paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l’axe y des ordonnées.

Une fonction est impaire si et seulement son graphe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exercice

Que dire de la parité des fonctions puissance n-ième ? Même

question pour la fonction inverse.

Fonctions circulaires

Définition

Le cercle trigonométrique, ou cercle unité, est le cercle centré

en l’origine (point de coordonnées (0, 0)) et de rayon 1 dans un

repère orthonormé.

Fonctions circulaires

Définition

Etant donné un nombre réel x, on construit le point M du cercle trigonométrique obtenu en parcourant le cercle trigonométrique dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) à partir du point (1, 0) sur une distance x si x ≥ 0, et dans le sens inverse sur une distance |x| si x < 0.

I

on note cos(x ) (cosinus de x) l’abscisse de M,

I

on note sin(x ) (sinus de x) l’ordonnée de M.

x y

1 ^π₂ π

−2π −π 0

1

−1

y=cos(x)

y=sin(x)

Fonctions circulaires

Définition

Etant donné un nombre réel x, on construit le point M du cercle trigonométrique obtenu en parcourant le cercle trigonométrique dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) à partir du point (1, 0) sur une distance x si x ≥ 0, et dans le sens inverse sur une distance |x| si x < 0.

I

on note cos(x ) (cosinus de x) l’abscisse de M,

I

on note sin(x ) (sinus de x) l’ordonnée de M.

x y

1 ^π₂ π

−2π −π 0

1

−1

y=cos(x)

y=sin(x)

Fonctions circulaires

conséquence de Pythagore

cos(x )

+ sin(x )

= 1 cos π

6

=

√ 3

2 ; sin π 6

= 1

2 ; cos π 4

= sin π 4

=

√ 2 2 ; cos π

3

= 1

2 ; sin π 3

=

√ 3 2 ; A noter que

= 30

(radians),

= 45

et

= 60

.

conséquence de Thales

si le triangle ABC est rectangle en B alors on obtient : cos

BAC [

= AB

AC = côté adjacent hypoténuse sin

BAC [

= BC

AC = côté opposé

hypoténuse

Fonctions circulaires

conséquence de Pythagore

cos(x )

+ sin(x )

= 1 cos π

6

=

√ 3

2 ; sin π 6

= 1

2 ; cos π 4

= sin π 4

=

√ 2 2 ; cos π

3

= 1

2 ; sin π 3

=

√ 3 2 ; A noter que

= 30

(radians),

= 45

et

= 60

. conséquence de Thales

si le triangle ABC est rectangle en B alors on obtient : cos

BAC [

= AB

AC = côté adjacent hypoténuse sin

BAC [

= BC

AC = côté opposé

hypoténuse

Fonctions circulaires

formulaire de trigonométrie

Pour tous réels x et y on a les identités suivantes : cos(π − x ) = − cos(x ); sin(π − x ) = sin(x );

cos(π + x ) = − cos(x ); sin(π + x ) = − sin(x );

cos π 2 − x

= sin(x ); sin π 2 − x

= cos(x);

cos π 2 + x

= − sin(x ); sin π 2 + x

= cos(x );

cos(x + y ) = cos(x ) cos(y ) − sin(x ) sin(y );

sin(x + y ) = sin(x ) cos(y ) + cos(x ) sin(y );

et en particulier :

cos(2x ) = 2 cos(x )

− 1; sin(2x ) = 2 sin(x ) cos(x ).

Fonctions circulaires

Définition

La fonction tangente, notée tan, est définie pour tous les réels x dans R \

2

+ kπ : k ∈ Z par la formule tan(x ) = sin(x ) cos(x ) .

x y

−^3π₂ −π −^π₂ 0 ^π₂ π 3π 2

y=tan(x)

Fonctions circulaires

Définition

La fonction tangente, notée tan, est définie pour tous les réels x dans R \

2

+ kπ : k ∈ Z par la formule tan(x ) = sin(x ) cos(x ) .

x y

−^3π₂ −π −^π₂ 0 ^π₂ π 3π 2

y=tan(x)

Fonctions circulaires

Remarque

si le triangle ABC est rectangle en B alors : tan

BAC [

= BC

AB = côté opposé

côté adjacent

Fonctions circulaires réciproques

Définition (fonction arcsinus)

arcsin est la réciproque de la fonction sinus restreinte à

−

,

:

∀x ∈ h

− π 2 , π

2 i

, arcsin(sin(x )) = x ,

x y

1

π 2

π

1

y = arcsin(x )

y = sin(x )

y = x

Fonctions circulaires réciproques

Définition (fonction arccossinus)

arccos est la réciproque de la fonction cosinus restreinte à [0, π] :

∀x ∈ [0, π] , arccos(cos(x )) = x

x y

1 π

1 y = arccos(x)

y = cos(x )

y = x

Fonctions circulaires réciproques

Remarque

Puisque cos

(x ) = 1 − sin

(x ) (et vice versa), on a :

∀x ∈ [−1, 1], cos(arcsin(x )) = p 1 − x

et

∀x ∈ [−1, 1], sin(arccos(x )) = p

1 − x

.

Remarque

Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, l’ensemble des solutions de l’équation sin(x ) = α (où l’inconnue est x ) est

{arcsin(α) + 2kπ : k ∈ Z }

et l’ensemble des solutions de l’équation cos(x ) = β est

{arccos(β) + 2k π : k ∈ Z } .

Fonctions circulaires réciproques

Remarque

Puisque cos

(x ) = 1 − sin

(x ) (et vice versa), on a :

∀x ∈ [−1, 1], cos(arcsin(x )) = p 1 − x

et

∀x ∈ [−1, 1], sin(arccos(x )) = p

1 − x

. Remarque

Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, l’ensemble des solutions de l’équation sin(x ) = α (où l’inconnue est x ) est

{arcsin(α) + 2kπ : k ∈ Z }

et l’ensemble des solutions de l’équation cos(x ) = β est

{arccos(β) + 2k π : k ∈ Z } .

Fonctions circulaires réciproques

Définition (fonction arctangente)

arctan est la réciproque de la fonction tangente restreinte à −

,

:

∀x ∈ i

− π 2 , π

2 h

, arctan(tan(x )) = x

Fonctions circulaires réciproques

x y

−

y = tan(x )

y = x

y = arctan(x )

π 2

Suites numériques

Définition

Une suite numérique est une famille de nombres réels indexée par l’ensemble des entiers naturels.

Notation

La suite (x

)

, qu’on peut aussi écrire (x

)

, est la suite dont le premier terme est x

, le deuxième terme est x

, et cetera...

La notation (y

)

désigne la suite dont le terme de rang n est y

.

Remarque

Mathématiquement, la suite (x

)

est la fonction numérique f définie sur N qui associe à l’entier n le nombre x

, c’est-à-dire f :

N → R

n 7→ x

.

Suites numériques

Définition

Une suite numérique est une famille de nombres réels indexée par l’ensemble des entiers naturels.

Notation

La suite (x

)

, qu’on peut aussi écrire (x

)

, est la suite dont le premier terme est x

, le deuxième terme est x

, et cetera...

La notation (y

)

désigne la suite dont le terme de rang n est y

.

Remarque

Mathématiquement, la suite (x

)

est la fonction numérique f définie sur N qui associe à l’entier n le nombre x

, c’est-à-dire f :

N → R

n 7→ x

.

Suites numériques

Exemple

I

suite constante égale à b : définie par (x

)

= (b)

.

I

suite arithmétique de raison a et de premier terme b : soit a 6= 0, alors (x

)

= (a n + b)

.

I

suite géométrique de raison q et de premier terme c : soit q tel que q 6= 0 et q 6= 1, et soit c 6= 0, alors

(x

)

= (c q

)

.

I

suite harmonique : la suite harmonique est la suite (x

)

dont le terme de rang n est donné par la formule x

= 1 + 1

2 + 1

3 + . . . + 1 n =

n

X

k=1

1

k .

Suites numériques

Suites arithmétiques

Soit a un réel non nul et b un réel fixé, alors on a l’équivalence

∀n ∈ N , x

= a n + b ⇔

x

= b,

∀n ∈ N , x

= x

+ a,

Remarque

La raison a de la suite arithmétique (x

)

= (a n + b)

est donc égale à la différence x

− x

de deux termes consécutifs de cette suite.

Exemple

On suppose qu’une population microbienne est composée de 1000

individus à l’instant 0, et que chaque heure cette population

augmente de 100 individus. Combien compte-t-elle d’individus au

bout de 10 heures ? Au bout de 1000 heures ?

Suites numériques

Suites arithmétiques

Soit a un réel non nul et b un réel fixé, alors on a l’équivalence

∀n ∈ N , x

= a n + b ⇔

x

= b,

∀n ∈ N , x

= x

+ a,

Remarque

La raison a de la suite arithmétique (x

)

= (a n + b)

est donc égale à la différence x

− x

de deux termes consécutifs de cette suite.

Exemple

On suppose qu’une population microbienne est composée de 1000

individus à l’instant 0, et que chaque heure cette population

augmente de 100 individus. Combien compte-t-elle d’individus au

bout de 10 heures ? Au bout de 1000 heures ?

Suites numériques

Suites géométriques

Soit q un réel différent de 0 et de 1, et c un réel non nul, alors on a l’équivalence

∀n ∈ N , x

= c q

⇔

x

= c,

∀n ∈ N , x

= q x

,

Remarque

La raison q de la suite géométrique (x

)

= (c q

)

est donc égal au quotient

n

de deux termes consécutifs de cette suite.

Exemple

On suppose qu’une population microbienne est composée de 1000

individus à l’instant 0, et que chaque heure cette population

augmente de 2%. Combien compte-t-elle d’individus au bout de 10

heures ? Au bout de 1000 heures ?

Suites numériques

Suites géométriques

Soit q un réel différent de 0 et de 1, et c un réel non nul, alors on a l’équivalence

∀n ∈ N , x

= c q

⇔

x

= c,

∀n ∈ N , x

= q x

,

Remarque

La raison q de la suite géométrique (x

)

= (c q

)

est donc égal au quotient

n

de deux termes consécutifs de cette suite.

Exemple

On suppose qu’une population microbienne est composée de 1000

individus à l’instant 0, et que chaque heure cette population

augmente de 2%. Combien compte-t-elle d’individus au bout de 10

heures ? Au bout de 1000 heures ?