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Cercle trigonométrique -

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Academic year: 2022

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Cercle trigonométrique -

Classe de 2nde

Corrigé de l’exercice 1

◮1. Convertir les cinq mesures suivantes en radians : 244˚, 120˚, 217˚, 261˚ et 340˚.

La conversion est en fait une simple règle de proportionnalité : il faut multiplier par π 180 . Par exemple pour la première mesure, on obtient avec simplification : 244 ×

π

180 = 61 π 45 rad.

De même pour les autres mesures, on trouve alors respectivement : 61 π

45 rad, 2 π

3 rad, 217 π

180 rad, 29 π 20 rad et 17 π

9 rad.

◮2. Convertir les cinq mesures suivantes en degrés : 38 π 36 , 56 π

36 , 50 π 45 , 22 π

15 et 24 π 15 rad.

On effectue alors la proportionnalité inverse : il faut multiplier par 180 π . Après simplification, voici les résultats : 190˚, 280˚, 200˚, 264˚et 288˚.

◮3. Déterminer les mesures principales des angles suivants en radians : 39 π 23 , 43 π

27 , 120 π 15 , 97 π

8 et − 16 π 10 rad.

Une mesure d’angle en radians est définie modulo 2 π , c’est-à-dire que l’ajout ou la suppression d’un tour ( qui vaut 2 π ou 360˚) ne change pas un angle.

Concrètement, avec le premier angle de la question, on remarque que : 39 π

23 ≡ − 7 π 23 + 46 π

23 ≡ − 7 π

23 + 2 π ≡ − 7 π 23 (2 π ).

De même pour les autres mesures, on trouve alors respectivement : − 7 π

23 rad, − 11 π

27 rad, 0 rad, π 8 rad et 2 π

5 rad.

◮4. Des angles ont été placés sur le cercle trigonométrique ci-dessous, représentés en rouge par les points M

0

, M

1

, M

2

et M

3

. Lire leurs mesures principales en radians ( les lignes vertes, grises et bleues représentent des angles multiples de π

3 , de π

4 et de π 5 ).

Les réponses sont directement données sur le cercle trigonométrique ci-dessous :

π 2

0

− 3 π 5

π 3

O I

J

Les points M

0

, M

1

, M

2

et M

3

définissent alors respectivement les angles − π

2 , 0, − 3 π 5 et π

3 rad.

◮5. Placer les angles suivants sur le cercle trigonométrique : π

6 , π , − π 5 et 6 π

5 rad.

Les réponses sont directement données sur le cercle trigonométrique ci-dessous :

Année 2015/2016

(2)

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Cercle trigonométrique -

Classe de 2nde

π 6

π

π 5 6 π

5

O I

J

Ajoutons une simple remarque pour la dernière mesure, qui n’est pas principale : il faut effectuer en premier lieu une simplification, comme à la question 3. On obtient alors :

6 π

5 ≡ − 4 π 5 (2 π ).

Corrigé de l’exercice 2

◮1. Convertir les cinq mesures suivantes en radians : 56˚, 86˚, 151˚, 40˚ et 190˚.

La conversion est en fait une simple règle de proportionnalité : il faut multiplier par π 180 . Par exemple pour la première mesure, on obtient avec simplification : 56 ×

π

180 = 14 π 45 rad.

De même pour les autres mesures, on trouve alors respectivement : 14 π

45 rad, 43 π

90 rad, 151 π 180 rad, 2 π

9 rad et 19 π 18 rad.

◮2. Convertir les cinq mesures suivantes en degrés : π 3 , π

5 , 27 π 18 , 5 π

4 et 38 π 20 rad.

On effectue alors la proportionnalité inverse : il faut multiplier par 180 π . Après simplification, voici les résultats : 60˚, 36˚, 270˚, 225˚et 342˚.

◮3. Déterminer les mesures principales des angles suivants en radians : 100 π 9 , 64 π

22 , 118 π 29 , 92 π

28 et − 114 π 17 rad.

Une mesure d’angle en radians est définie modulo 2 π , c’est-à-dire que l’ajout ou la suppression d’un tour ( qui vaut 2 π ou 360˚) ne change pas un angle.

Concrètement, avec le premier angle de la question, on remarque que : 100 π

9 ≡ − 8 π

9 + 108 π

9 ≡ − 8 π

9 + 12 π ≡ − 8 π 9 (2 π ).

De même pour les autres mesures, on trouve alors respectivement : − 8 π

9 rad, 10 π

11 rad, 2 π

29 rad, − 5 π 7 rad et − 12 π

17 rad.

◮4. Des angles ont été placés sur le cercle trigonométrique ci-dessous, représentés en rouge par les points M

0

, M

1

, M

2

et M

3

. Lire leurs mesures principales en radians ( les lignes vertes, grises et bleues représentent des angles multiples de π

3 , de π

4 et de π 5 ).

Les réponses sont directement données sur le cercle trigonométrique ci-dessous :

Année 2015/2016

(3)

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Cercle trigonométrique -

Classe de 2nde

π 2

0

− 2 π 3

3 π 5

O I

J

Les points M

0

, M

1

, M

2

et M

3

définissent alors respectivement les angles − π

2 , 0, − 2 π 3 et 3 π

5 rad.

◮5. Placer les angles suivants sur le cercle trigonométrique : π , 3 π 5 , − 2 π

5 et 9 π 6 rad.

Les réponses sont directement données sur le cercle trigonométrique ci-dessous :

π

3 π 5

− 2 π 3 π 5

2

O I

J

Ajoutons une simple remarque pour la dernière mesure, qui n’est pas principale : il faut effectuer en premier lieu une simplification, comme à la question 3. On obtient alors :

9 π 6 ≡ − π

2 (2 π ).

Année 2015/2016

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