I- Le radian
On choisit une unité de longueur dans le plan. C est le cercle de centre O et de rayon 1 et A un point du cercle.
1) Longueur d’un arc de cercle
a) N, P ,Q et R sont les points de C tels que : ̂AOP = 45°; ̂AOQ = 30°
̂AON = 60° ; ̂AOR = 120°
Exprimer en fonction de la longueur des arcs
AQ, AP, AN et AR interceptés par les angles précédents. 1
b) Soit M un point du cercle tel que ̂AOM = Quelle est la mesure de l’arc intercepté par l’angle ?
2) Le radian
Le radian est une nouvelle unité de mesure des angles.Par définition, dire qu’un angle mesure x rad (radians) signifie qu’il intercepte sur le cercle C un arc de longueur x
Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous : Angle en
degré 180° 90° 45° 60° 30°
Angle en radian
2 3
3
2
II- Le cercle trigonométrique
Définition : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct ou sens positif (sens contraire des aiguilles d’une montre).
d 1) Enroulement de la droite des réels autour de C
[AA’] et [BB’] sont deux diamètres perpendiculaires de C . d est une droite graduée d’origine A et tangente à C en A
Imaginer que d est un fil que l’on enroule autour de C .
a) En quels points du cercle C viendront se positionner les points de la droite d d’abscisses : ; 2;
2 ; 3 2 ; –
2 b) Soit M le point de C correspondant à un angle de 5
6 . Placer M.
Proposer deux abscisses de points de la droite d correspondant au point M.
Y en a-t-il d’autres ?
c) Reprendre la question précédente pour un point M de C correspondant à un angle de x radian
2) Application
a) Représenter deux cercles trigonométriques : l'un avec un découpage en π
6 l'autre avec un découpage en π 4 Utiliser alors l'un ou l'autre des cercles pour placer les points images des nombres suivants :
13π
6 ; −7π 3 ; 7π
8 ; 11π
8 ; 34π
12 ; −27π 4
b) Représenter en rouge sur le cercle trigonométrique orienté dans le sens direct l'arc de cercle correspondant aux points images des nombres réels compris dans :
1)
