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II- Le cercle trigonométrique

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

I- Le radian

On choisit une unité de longueur dans le plan. C est le cercle de centre O et de rayon 1 et A un point du cercle.

1) Longueur d’un arc de cercle

a) N, P ,Q et R sont les points de C tels que : ̂AOP = 45°; ̂AOQ = 30°

̂AON = 60° ; ̂AOR = 120°

Exprimer en fonction de  la longueur des arcs

AQ, AP, AN et AR interceptés par les angles précédents. 1

b) Soit M un point du cercle tel que ̂AOM =  Quelle est la mesure de l’arc intercepté par l’angle ?

2) Le radian

Le radian est une nouvelle unité de mesure des angles.

Par définition, dire qu’un angle mesure x rad (radians) signifie qu’il intercepte sur le cercle C un arc de longueur x

Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous : Angle en

degré 180° 90° 45° 60° 30°

Angle en radian

2 3

3

2

II- Le cercle trigonométrique

Définition : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct ou sens positif (sens contraire des aiguilles d’une montre).

d 1) Enroulement de la droite des réels autour de C

[AA’] et [BB’] sont deux diamètres perpendiculaires de C . d est une droite graduée d’origine A et tangente à C en A

Imaginer que d est un fil que l’on enroule autour de C .

a) En quels points du cercle C viendront se positionner les points de la droite d d’abscisses : ; 2; 

2 ; 3 2 ; –

2 b) Soit M le point de C correspondant à un angle de 5

6 . Placer M.

Proposer deux abscisses de points de la droite d correspondant au point M.

Y en a-t-il d’autres ?

c) Reprendre la question précédente pour un point M de C correspondant à un angle de x radian

(2)

2) Application

a) Représenter deux cercles trigonométriques : l'un avec un découpage en π

6 l'autre avec un découpage en π 4 Utiliser alors l'un ou l'autre des cercles pour placer les points images des nombres suivants :

13π

6 ; −7π 3 ; 7π

8 ; 11π

8 ; 34π

12 ; −27π 4

b) Représenter en rouge sur le cercle trigonométrique orienté dans le sens direct l'arc de cercle correspondant aux points images des nombres réels compris dans :

1)

[

−π4; 0

]

2)

[

π2;34π

]

3)

[

π2;54π

]

[

74π;2π

]

4)

[

23π;− π6

]

[

0 ;π2

]

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