Chapitre 12 Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

Chapitre 12

Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

Sommaire

12.1 Enroulement de la droite des réels . . . 127 12.2 Une nouvelle unité de mesure des angles : le radian . . . 128 12.3 Cosinus et sinus d’un réel x . . . 128

12.1 Enroulement de la droite des réels

A CTIVITÉ 12.1.

Soit un repère orthonormal ¡ O; ~ ı, ~  ¢

, le cercle C de centre O et de rayon 1 et la droite D d’équation x = 1 qui coupe l’axe (Ox ) en I , représentés sur la figure ci- contre.

À tout nombre a, on associe le point M de la droite D , d’abscisse 1 et d’ordonnée a.

« L’enroulement » de la droite D autour du cercle C met en coïncidence le point M avec un point N de C . Plus précisément, si a est positif, le point N est tel que

y

I N = I M = a , l’arc étant mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et, si a est négatif, le point N est tel que

y

I N = I M = | a | , l’arc étant mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre.

Le point N est le point du cercle C associé au nombre a .

1. Placer les points M

de la droite D dont les ordonnées a respectives sont : 0;

; −

;π; − π.

2. Placer les points N

du cercle associés à ces nombres a .

3. Indiquer un nombre associé à chacun des points I , J , B( − 1;0) et B

(0; − 1).

4. Existe-t-il plusieurs nombres associés à un même point? Donner quatre nombres associés

×

×

×

×

×

I J

D M

N

O

12.2 Une nouvelle unité de mesure des angles : le radian

Définition 12.1 (Orientation d’un cercle, du plan, cercle trigonométrique). On se place dans le plan.

• Orienter un cercle, c’est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelé sens direct (ou positif). L’autre sens est appelé sens indirect (négatif ou rétrograde).

• Orienter le plan, c’est orienter tous les cercles du plan dans le même sens. L’usage est de choisir pour sens direct le sens contraire des aiguilles d’une montre (appelé aussi sens trigonométrique).

• Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. Lorsque le plan est muni d’un repère ¡

O;~ ı ,~  ¢

, le cercle trigonométrique est le cercle orienté dans le sens direct, de centre O et de rayon 1.

Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique.

Définition 12.2. La mesure d’un angle en radian est égale à la longueur de l’arc de cercle que cet angle intercepte sur le cercle trigonométrique.

Avec les notations de l’activité précédente, la mesure de l’angle ION  en radian est égale à la longueur I N

, c’est-à-dire à a.

E XERCICE 12.1.

Compléter le tableau suivant :

Mesure de l’arc I N

= mesure en radian de l’angle ION  0 π 6

π 4

π 3

π

2 π 2π

Mesure en degré de l’angle ION  E XERCICE 12.2.

La figure 12.2 page 131 propose plusieurs cercles trigonométriques.

• Sur un de ces cercles, placer les points correspondant aux nombres suivant : 0,

,

,

,π,

,2π, −

, −

, −

, −

, − π, −

, − 2π

• Sur un autre de ces cercles, placer les points correspondant aux nombres suivant :

π

6

,

,

,

,

,

,

, −

, −

, −

, −

12.3 Cosinus et sinus d’un réel x

A CTIVITÉ 12.2.

En s’aidant des schémas de la figure 12.1 page suivante, compléter le tableau suivant :

Seconde

12.3 Cosinus et sinus d’un réel x

On pourra observer que les triangles OI N , ONP et ON J ne sont pas quelconques lorsque N correspond, respectivement, aux nombres

,

et

.

F

12.1: Figures de l’activité 12.2

I J

O

bb

N

b

I J

O

N

P

bb

b

I J

O

b

N

b b

Définition 12.3. Soit x un réel et N (x

; y

) le point qui lui est associé par enroulement sur le cercle trigonométrique. Alors on a :

cos x = x

sin x = y

et, quand cos x 6= 0,tan x = sin x cos x E XERCICE 12.3.

Compléter le tableau suivant :

x 0 π

6

π 4

π 3

π

2 π

sin x

cos x

tanx

Propriété 12.1. Pour tout réel x on a :

• − 1 6 _{cos x} 6 ₁

• − 1 6 _{sin x} 6 ₁

• cos(x + 2π) = cos x

• cos( − x) = cos x

• sin(x + 2π) = sin x

• sin( − x) = − sin x

• cos

x + sin

x = 1

E XERCICE 12.4.

Par lecture graphique et sans justifier, en s’aidant des schémas obtenus dans l’exercice 12.2, compléter le tableau suivant :

x 2π

3

3π 4

5π

6 − π

6 − π

4 − π

3 − π

2 − 2π

3 − 3π

4 − 5π

6 π 2π

sin x

cos x

tanx

E XERCICE 12.5. 1. Compléter le tableau suivant : x − 2π − π − π

2 − π 3 − π

4 − π

6 0 π

6 π 4

π 3

π

2 π 2π

cos x

sin x

tan x

2. Tracer dans trois repères orthogonaux (ordonnées : 5 cm = une unité; abscisses : 6 cm = π unités) les courbes représentatives des fonctions sinus, cosinus et tangente.

3. Dresser le tableau des variations de ces fonctions pour x ∈ [ − 2π ; 2π]

Seconde

12.3 Cosinus et sinus d’un réel x

F

12.2: Cercles trigonométriques

I J

O I

J

O

I J

O I

J

O

I J

O I

J

O