MPSI B 2011-2012 DM 1 29 juin 2019
On se place dans un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct, à chaque point du plan est donc associée une axe complexe.
Dans ce problème1, aucun raisonnement géométrique ne sera pris en considération. Toutes les démonstrations doivent se faire à l'aide de calculs dansC.
On noteCle cercle (unité) formé par les points dont l'axe appartient àU. On rappelle queUest l'ensemble des nombres complexes de module 1.
I. Une nouvelle forme d'équation de droite.
1. SoitDune droite passant par un pointA(d'axea) et orthogonale à un vecteur non nul−→u (d'axeu). SoitZ (d'axez) un point quelconque du plan.
a. TraduireZ∈ Dpar une relation complexe.
b. Déterminer des nombres complexesw0,w1 tels que : Z ∈ D ⇔z=w0+w1z Vérier que siw06= 0alors
w1=−w0 w0
2. Soitwun nombre complexe non nul xé.
a. Déterminer des nombres complexesaetu(avecunon nul) tels que :
∀z∈C:z−w+w wz= 1
wRe ((z−a)u) b. Montrer que
z=w−w wz est l'équation d'une droite à préciser.
II. Droite polaire d'un point par rapport au cercle unité.
SoitM un point xé du plan qui n'est pas l'origine du repère. Son axe estm6= 0. On note∆M l'ensemble des pointsZ (d'axez) tels que
z= 2 m−m
mz
1d'après Géométrie analytique classique J-D Eiden (C&M) p227
1. Pourquoi∆M est-il une droite ?
2. On considère l'équation(E)d'inconnuez :
(E) z2− 2
mz+m m = 0
En discutant suivant|m|, préciser les solutions complexes de(E)et les modules de ces solutions.
3. Montrer que∆M ∩ C est vide lorsque|m|<1. 4. On suppose ici que|m|>1.
a. Montrer que∆M ∩ C est formé par deux points.
b. SoitU (d'axeu) un des deux points de ∆M ∩ C. Calculer Re ((u−m)u)
Quelle propriété géométrique peut-on en déduire ? Faire un dessin.
III. Conguration géométrique
M
A
C
D
B
M0
M00
C
Fig. 1: Conguration géométrique
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1. Soitaet bdeux nombres complexes de module 1tels quea+b6= 0. Montrer que a+b
a+b =ab
2. SoitAetB deux points de C(respectivement d'axesaet baveca+b6= 0). SoitM (d'axem) un point quelconque du plan. Montrer queM est sur la droite(AB)si et seulement si :
m=a+b−ab m
3. On se donne quatre pointsA,B, C, D (axesa, b, c,davec a+b6= 0et c+d6= 0) surC. et on suppose que les droites (AB)et (CD)se coupent en un pointM (axe m).
a. Montrer queab−cd6= 0. b. Montrer que
m= ab(c+d)−cd(a+b) ab−cd c. Montrer que
m= a+b−c−d ab−cd d. Montrer que
ab=a+b−m
m cd= c+d−m
m
4. On suppose que les points du cercle sont dans la conguration de la gure 1, En particulier, aucun de ces points n'est diamétralement opposé à un autre et les droites que l'on peut former se coupent deux à deux enM,M0,M00.
a. Déterminer les axesm0 etm00 deM0 et M00ainsi que leurs conjugués.
b. Montrer que
m0= 2 m −m
mm0 m00= 2 m−m
mm00 Que peut-on en conclure pour les pointsM0 etM00?
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