On suppose le plan muni d’un repère orthonormé direct (O; − → u , − → v )

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Devoir n˚2

Durée : 1 heure. Calculatrices autorisées

On suppose le plan muni d’un repère orthonormé direct (O; − → u , − → v )

I) 4 points

Soit A, B, C les points d’affixes respectives 4 − i, 1 + 5i, 7 + 1 2 i.

Représenter ces points sur un dessin.

Conjecturer la nature du triangle ABC et démontrer cette conjecture.

II) 6 points

On appelle A le point d’affixe 1 − i √

3. On appelle B le symétrique de A par rapport à O et C le point d’affixe z

= z

1. Déterminer les formes algébriques de z

et z

2. Représenter A, B, C. Conjecturer puis démontrer la nature du triangle ABC 3. Démontrer que la propriété reste la même pour tout point A d’abscisse 1.

III) 6 points

On considère la transformation T

d’écriture complexe z

= −5(z + i − 3) et la trans- formation T

d’écriture complexe z

= i(z − 3)

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de chacune de ces transfor- mations.

Représenter sur un dessin les images M

et M

du point M d’affixe 3 par T

et par T

en mettant en évidence les éléments trouvés.

2. Soit D la droite de coefficient directeur − 1

3 passant par le point A d’affixe 1 + i.

Quelle est l’image de D par la composée T

◦ T

?

IV) 4 points

Soit ABC un triangle direct. On définit les points D, E, F, G, H, I en construisant les carrés directs BAED, CBF G et ACHI .

On suppose que B est l’origine du repère, et on note z

et z

les affixes de A et de C.

A B

C

F G

I H

E D

1. Exprimer les affixes de les points D, E, F, G, H, I en fonction de 2. On appelle R et S les centres respectifs des carrés ACHI et CBF G

On appelle T l’image de A par la translation de vecteur −→

SB. Démontrer que le

triangle RST est isocèle rectangle.