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On désigne par P un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct R . Les coordonnées et les axes des points du plan sont relatifs à ce repère.

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(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans ce problème

1

les termes arc paramétré et courbe paramétrée ont la même signi- cation. Un arc paramétré est dit régulier si et seulement si il est sans point stationnaire.

On désigne par P un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct R . Les coordonnées et les axes des points du plan sont relatifs à ce repère.

Soient a et b des réels strictement positifs. On dénit une hyperbole H a,b et une ellipse E a,b

par leurs équations réduites : H a,b : x 2

a 2 − y 2

b 2 = 1 E a,b : x 2 a 2 + y 2

b 2 = 1 pour a ≥ b Soient F et F 0 les points respectivement de coordonnées (1, 0) et (−1, 0) . On dénit les fonctions Cos et Sin, de C dans C par :

∀z ∈ C , Cos z = 1

2 e iz + e −iz

Sin z = 1

2i e iz − e −iz . 1. Soit Z = {z ∈ C | Cos z = 0} et I un intervalle ouvert.

Soit γ 1 et γ 2 deux fonctions de classe C 1 dénies dans I et à valeurs dans C \ Z . On suppose que :

∀t ∈ I, γ 1 0 (t) 6= 0 et γ 0 2 (t) 6= 0 On dénit des arcs paramétrés g 1 , g 2 , f 1 , f 2 par :

∀t ∈ I,

 

 

 

 

g 1 (t) est le point d'axe γ 1 (t) g 2 (t) est le point d'axe γ 2 (t) f 1 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 1 )(t) f 2 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 2 )(t) a. Déterminer Z .

b. On admet que les fonctions Sin ◦ γ 1 et Cos ◦ γ 2 sont C 1 avec :

∀t ∈ I, ( Sin ◦ γ 1 ) 0 (t) = Cos (γ 1 (t))γ 1 0 (t), ( Sin ◦ γ 2 ) 0 (t) = Cos (γ 2 (t))γ 2 0 (t) Montrer que les arcs paramétrés f 1 et f 2 sont réguliers.

c. On suppose que γ 1 (t 0 ) = γ 2 (t 0 ) pour un certain t 0 ∈ I . Montrer l'égalité des angles orientés

( − → \ f 1 0 (t 0 ), − →

f 2 0 (t 0 )) = ( − → g 1 0 (t \ 0 ), − → g 2 0 (t 0 )) [2π]

(On dit que l'application Sin est conforme.)

1

d'après un problème de Serge Dupont (http ://moduloserge.free.fr/)

2. À quelle condition sur a et b l'hyperbole H a,b (respectivement l'ellipse E a,b ) a-t-elle pour foyers F et F 0 ?

3. Soit y 0 > 0 . Montrer que l'image par Sin d'une droite d'équation y = y 0 est une ellipse de foyers F et F 0 .

4. Soit x 0 ∈ 0, π 2

. Montrer que l'image par Sin de l'ensemble d'équation x 2 = x 2 0 est une hyperbole de foyers F et F 0 .

5. On dit que deux courbes Γ et Γ 0 sont orthogonales si en tout point M ∈ Γ ∩ Γ 0 , les tangentes à Γ et Γ 0 sont perpendiculaires.

Montrer qu'une hyperbole et une ellipse de foyers F et F 0 sont orthogonales.

Fig. 1: Hyperboles et ellipses homofocales

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Asincosc

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MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. Le point important dans cette question est de montrer que l'on sait que l'on ne sait rien ou presque des fonctions d'une variable complexe.

Les seuls points au programme sur ce thème portent sur les fonctions rationnelles et la fonction exponentielle complexe.

a. On utilise des propriétés de la fonction exponentielle complexe. L'ensemble des z ∈ C pour lesquels exp(z) = 1 est 2iπ Z, on connait quelques valeurs particulères dont exp(iπ) = −1 . Voir la présentation axiomatique de la fonction exponentielle.

On en déduit (en utilisant la notation puissance) :

z ∈ Z ⇔ e iz + e −iz = 0 ⇔ e 2iz = −1 = e ⇔ e 2iz−iπ = 1 ⇔ z ∈ π 2 + π Z d'où

Z = π 2 + π Z

b. Les arcs sont réguliers car les dérivées de γ 1 et γ 2 ne s'annulent pas et les fonctions γ 1 et γ 2 prennent leurs valeurs dans Z ce qui entraine que les Cos sont non nuls.

c. L'angle orienté ( − → g 1 0 (t \ 0 ), − → g 2 0 (t 0 )) est un argument du quotient complexe γ 0 2 (t 0 )

γ 0 1 (t 0 ) De même l'angle orienté ( − → \

f 1 0 (t 0 ), − →

f 2 0 (t 0 )) est un argument du quotient complexe ( Sin ◦ γ 2 ) 0 (t 0 )

( Sin ◦ γ 1 ) 0 (t 0 ) = Cos (γ 2 (t 0 ))γ 2 0 (t 0 )

Cos (γ 1 (t 0 ))γ 1 0 (t 0 ) = γ 2 0 (t 0 ) γ 1 0 (t 0 ) car γ 1 (t 0 ) = γ 2 (t 0 ) . Les angles sont donc égaux modulo 2π .

2. Les dénitions de l'énoncé montrent bien que Ox est l'axe focal et O le centre dans les deux cas. Les relations entre l'équation réduite et la distance centre-foyer sont des formules du cours sur les coniques.

F et F 0 foyers de H a,b ⇔ a 2 + b 2 = 1 F et F 0 foyers de E a,b ⇔ a 2 − b 2 = 1

3. On paramètre la droite d'équation y = y 0 par t 7→ t + iy 0 avec t ∈ R. On a alors pour t ∈ R

Sin (t + iy 0 ) = 1

2i (e it−y

0

− e −it+y

0

)

= 1

2i e −y

0

(cos t + i sin t) − e y

0

(cos t − i sin t)

= i

2 cos t(e y

0

− e −y

0

) + i

2i sin t(e y

0

+ e −y

0

) = a sin t + ib cos t avec

a = e y

0

+ e −y

0

2 = ch(y 0 ) et b = e y

0

− e −y

0

2 = sh(y 0 ) On reconnaît la forme complexe d'un paramétrage de l'ellipse d'équation

x 2 a 2 + y 2

b 2 = 1

(Poser t = u − π/2 pour retrouver (a cos u, b sin u) .) Comme a > b > 0 , il s'agit bien de l'ellipse E a,b , ses foyers sont bien F et F 0 car

a 2 − b 2 = ch(y 0 ) 2 − sh(y 0 ) 2 = 1

4. Remarquons que x 2 = x 2 0 équivaut à x = x 0 ou x = −x 0 . Déterminons l'image par Sin de ces deux droites. On paramètre la droite d'équation x = x 0 par t 7→ x 0 + it avec t ∈ R. Alors pour t ∈ R

Sin (x 0 + it) = 1

2i (e ix

0

−t − e −ix

0

+t )

= 1

2i (e −t (cos x 0 + i sin x 0 ) − e t (cos x 0 − i sin x 0 ))

= sin x 0 e t + e −t

2 + i cos x 0 e t − e −t 2 .

En posant a = sin x 0 et b = cos x 0 , on reconnaît un paramétrage d'une branche de l'hyperbole d'équation x a

22

y b

22

= 1 . En changeant x 0 en −x 0 , on change le signe de sin x 0 et on obtient ainsi les deux branches de l'hyperbole.

Les foyers sont F et F 0 car c = √

a 2 + b 2 = 1 .

5. Soient H et E respectivement une hyperbole et une ellipse de foyers F, F 0 . Alors ces coniques sont centrées en O , milieu de [F, F 0 ] , d'axe focal (F F 0 ) = Ox , donc sont respectivement de la forme H a,b et E a

0

,b

0

avec a 2 + b 2 = 1 et a 02 − b 02 = 1 . On choisit

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x 0 ∈]0, π/2[ de sorte que a = sin x 0 et b = cos x 0 . L'hyperbole H est alors l'image par Sin des deux droites d'équations x = ±x 0 d'après la question précédente.

On choisit aussi y 0 > 0 tel que a 0 = e

y0

+e 2

−y0

et b 0 = e

y0

−e 2

−y0

. C'est possible en posant y 0 = ln(a 0 + b 0 ) . On a bien

e y

0

+ e −y

0

= a 0 + b 0 + 1

a 0 + b 0 = a 0 + b 0 + a 0 − b 0

a 02 − b 02 = 2a 0 .

De même e y

0

−e −y

0

= 2b 0 . On a alors que E est l'image par Sin de la droite d'équation y = y 0 . Or les courbes paramétrées t 7→ γ 1 (t) = x 0 +it (ou x 0 −it ) et t 7→ γ 2 (t) = t+iy 0

sont orthogonales en tout point, donc leur image par Sin le sont aussi d'après la question 1.

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