Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct ÷ ø ç ö

Exercice N°1 : ©

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct ÷ ø ç ö

è æ

^{® ®}

v u

O , , ( unité : 2 cm ) On considère :

§ Le point A d'affixe a = 5 - i 3

§ Le point B tel que le triangle OAB soit équilatéral direct

§ Le milieu Q de [OB].

1. a) Démontrer que B a pour affixe b = 4 + 2 i 3 . En déduire l'affixe q de Q.

b) Déterminer l'affixe z

_K

du point K tel que ABQK soit un parallélogramme c) Démontrer que

K K

z a z -

est imaginaire pur. Qu'en déduit - on pour le triangle OKA ? Préciser la nature du quadrilatère OQAK

d) Placer les points A, B, Q et K dans le plan.

2. Soit C le point d'affixe 3 c = 2a . a) Calculer

c z

b z

K K

-

- ; Que peut - on déduire pour les points B, C et K ? b) Placer C sur la figure.

Exercice N°2 :

Soit ^{; 3 .} ( ) ^:

²

( ^{1 2} ) ²

²

⁰

2 2

i i i

E

_q

z ie

^q

z ie

^q

e

^q

q Î ù ú û p p é ê ë - + - + - =

1. Résoudre dans £ l’équation ( ) ^E

q

. On désignera par ' z

_q

et '' z

_q

les solutions de ( ) ^E

q

avec Re( ' z

_q

) <

Re( '' z

_q

).

2. Donner la forme exponentielle de ' z

_q

. 3. Soit F1 = ( ) ^{' ; ; 3}

2 2

M

_q

z

_q

p p

ì q Î ù é ü í ú û ê ë ý

î þ . Déterminer un système d’équations cartésiennes de F1 puis tracer F1 dans un repère orthonormé ( ^{O u v ; ; r r} ) ^.

4. Soit

2

( )

1 1

'' avec z 2 ' 1 et varie sur ;3

M z z i 2 2

F = í ì î

_q = _q+ - q

ù ú û

^{p p}

é ê ë ü ý þ a) Donner une application f telle que 3

2 ; 2 q ù p p é

" Î ú û ê ë on a f ( ) ^M

q

= ^{M ''}

q

b) Déduire alors F

2

puis le tracer dans le même repère.

Exercice N°3 : ©

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( ; ; )

®

®

v u

O (unité graphique : 4 cm) On donne les points A et B d’affixes respectives 1 et

2 3 2

1 - i

Pour chaque point M du plan, d’affixe z, on désigne par M

1,

d’affixe z

1

, l’image de M par la rotation de centre O et d’angle

3

p , puis par M’, d’affixe z’, l’image de M

1

par la translation de vecteur ( ) -

®

u

On note T la transformation qui, à chaque point M, associe le point M’.

1) a) Démontrer que

z'=eⁱ³z-1

p

T RANSFORMATIONS COMPLEXES

4^ème année Section : Maths

Novembre 2009 A. LAATAOUI

b) Déterminer l’image du point B.

c) Déterminer la nature de T et préciser ses éléments caractéristiques.

2) On pose z = x + iy, avec x et y réels.

a) Pour z ¹ 0, calculer la partie réelle du quotient z

z' en fonction de x et de y

b) Démontrer que l’ensemble (G) des points du plan, tels que le triangle OMM’ soit rectangle en O, est un cercle dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer ( G)

3) Dans cette question, on pose z = 1+ i

a) Vérifier que M Î ( G) et placer M et M’ sur la figure.

b) Calculer ' z et l’aire du triangle OMM’ en cm².

Exercice N°4 :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ÷ ø ç ö

è æ

^{® ®}

v u O , , .

Soit f la transformation du plan qui à tout point M x y ( , ) associe le point M x y '( ', ') tel que ' 2 '

x y

y x

ì = + í = -

î .

1. Donner l’expression complexe de f et montrer que c’est une rotation que l’on caractérisera.

2. Résoudre dans £ l’équation ( ) ( ) ^{E : i - 1 z}

²

^{- 2 i m} ( ^{+ 1} ) ( ) ^{z + + 1 i} ( ^m

²

^{+ = 1} ) ⁰ où m est un paramètre complexe.

a) Soient les points M

₁

et M

₂

d’affixes respectives z

₁

= - m i et z

₂

= - 1 im . Etablir une relation indépendante de m liant z

₁

et z

₂

.

b) Montrer que M

2

= f M ( )

1

et en déduire la nature du triangle AM M

_{1 2}

où A(1 – i).

4. Dans cette question, on prend m = e

^iq

où q est un réel de [ ] ^{0,p .}

a) Déterminer et construire l’ensemble des points M

₁

quand q décrit [ ] ^{0, p .}

b) Déterminer, suivant les valeurs de q , le module et un argument éventuel de z

₁

. Exercice N°5 :

Soit

q

un nombre réel appartenant à l’intervalle ] [

^0,p

, on considère dans

_£

, l’équation ( )

^{Eq :z2-}

(

^2i+eiq

)

^{z- +1 ieiq =0}

^.

1. Résoudre dans

_£

, l’équation ( )

^Eq

et mettre les solutions sous formes exponentielles.

2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (

^{O u v, ,}

^{r r} ) , unité graphique 2 cm, on considère les points A et M d’affixes respectives

z_A =i

et

z= +i e^iq

.

Déterminer et construire l’ensemble x des points M quand

q

décrit l’intervalle ] [

^0,p

^.

3. On appelle M’ l’image de M par la rotation de centre O et d’angle

2

p -q

. On note z’ l’affixe de M’.

a) Montrer que

z'= -z

et M’ appartient au cercle

G

de centre A et de rayon 1.

b) Montrer que M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe ( )

^{O v,}

^{r .}

4. Dans toute la suite, on prend

3 q =p

.

On appelle r la rotation de centre O et d’angle

6

p

. On note A’ l’image de A par r.

a) Donner l’affixe

z_A'

du point A’ sous forme exponentielle.

b) Définir l’image

G'

du cercle

G

par r.

Placer sur la figure A, A’,

G

, M,

G'

puis le point M’ image de M par r.

Exercice n°1 :

§ Le point A d'affixe a = 5 - i 3

§ Le point B tel que le triangle OAB soit équilatéral direct

§ Le milieu Q de [OB].

1. a) OAB soit équilatéral direct Û

( )

³

( )

, 3

1 3 5 3 3 3

5 3 5 4 2 3

2 2 2 2 2 2

i

B A

O

r A B z e z b i i i i i

p æ pö

ç ÷ è ø

æ ö

= Û = Û = ç ç + ÷ ÷ - = - + + = +

è ø

Q = O * B Û q = 2

b = 2 + i 3

.

b) ABQK est un parallélogramme Û

uuur uuur AB = KQ Û z

_AB^uuur

= z

_KQ^uuur

Û - = - Û = - + = + b a q k k q b a 2 i 3 - - 4 2 i 3 + - 5 i 3 + = - 3 2 i 3

c) ^{3 2 3 5 3 2 3} ( ^{2 3} )( ^{3 2 3} ) ^{7 3 3}

21 21 3

3 2 3 3 2 3

K K

i i

z a i i i i

i iIR

z i i

- - +

- = - - + = - - = = - = - Î

- -

^AK

OK

z iIR AK OK

z

^uuur

Î Û ^

uuur

uuur uuur

Û OKA est un triangle rectangle en K.

OQ uuur uuur uuur = QB = KA

Þ OQAK est un parallélogramme, de plus on a : (KO) ^ (KA) Þ OQKA est un rectangle.

d)

2. 3

c = 2a .

a) ( )

3 2 3 4 2 3 1 4 3 1 4 3

2 1 3 1 4 3 3

3 2 3 5 3 4

3 3 3 3

K K

z b i i i i

z c i i i i IR

- - - - - - +

= = = = Î

- - - - - - +

Þ B, C et K sont alignés.

b) Voir figure.

C OMPLEXES ET ISOMETRIES

C ^ORRIGE

4^ème année Section : Maths

Novembre 2009 A. LAATAOUI

Exercice n°3 :

1. a. La rotation de centre O d'angle

3

p

a pour expression complexe :

z₁ e zⁱ³

p

=

. La translation de vecteur

-ur

a pour expression complexe :

z'=z₁-1

donc

' ³ 1

i

z e z

p

= -

.

b.

^{1 3 3}

2 2

i

zB i e

-p

= - =

d’où

z_B' e zⁱ³ _B 1 eⁱ³ eⁱ³ 1 1 1 0

p p -p

= - = ´ - = - =

donc T(B) = O.

c. L’expression complexe de T est

z' eⁱ³z 1 az b où a eⁱ³ \ {1} et a 1

p p

= - = + = Σ* =

Þ T est une rotation d’angle

[ ]

arg 2

a º p p 3 et de centre

W

d’affixe

2 3 3

1 3

1 1 1 2 2 1 3

1 3

1 1 3 1 3 2 2

1 1 2 2 2 2 4 4

i i

b i

i e

a e i i

p p

- + -

- - -

= = = = = - + =

- - - +

2. a.

^{' 3 1 3 1 1 3 1 1 3 1} ( ³ )

2 2 2 2 ² ² 2 ² ² 2 ² ²

i

i x iy y

z e z x

e i i i

z z z x iy x y x y x y

p - p -

= = - = + - = + - = - + +

+ + + +

donc

' 1 Re( )

2 ² ²

z x

z = -x y +

. b. OMM' est un triangle rectangle, donc

( , ')

OM OMuuuur uuuuur = +p2 kp

c'est à dire

^z'

z

est un imaginaire pur ou encore, sa partie réelle est nulle. Or

( ^') ¹

2 ² ²

z x

e z x y

 = -

+

donc le problème revient à résoudre l'équation :

1 0 ² ² 2 0 ² 2 1 ² 1 ( 1)² ² 1

2 ² ²

x x y x x x y x y

x y

- = Û + - = Û - + + = Û - + =

+

.

D'autre part, pour que le triangle OMM' existe, il ne faut pas que M = O ni que M' = O ; ce dernier cas est réalisé lorsque M = B. On enlève donc O et B.

Dans le plan complexe, ce cercle a pour équation

z- =1 1

.

L'ensemble des points M tels que le triangle OMM' soit rectangle est le cercle de centre A de rayon 1 privé

des points O et B.

3°) On pose

z 1 i 2eⁱ⁴

p

= + =

.

a.

z- = + - =1 1 i 1 i =1

donc M Î (

G

).

Pour placer M' sur la figure, il faut appliquer à M la rotation d'angle

3

p

puis la translation de vecteur

-ur

. b.

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

' 1 ( )(1 ) 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

( )² ( )² 2 ( )² 2 .

2 2 2 2 2

i

z e z i i i i i

p + +

= - = + + - = + + - - = - +

+ + + + +

= - + = ´ = ´ =

Il en résulte que l'aire du triangle OMM' est égale à :

^{' ' 1} 2 ^{1 3 1 3}

2 2 2 2 2

z z

OM´OM = ´ = ´ ´ + = +

UA.

Remarque : UA = 16 cm² (l’unité d’aires).