dans un plan P muni d'un repère orthonormé (O,~i,~j) . Si M et N sont deux points du plan, on note d(M, N ) la distance de M à N .

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Énoncé

On se place

dans un plan P muni d'un repère orthonormé (O,~i,~j) . Si M et N sont deux points du plan, on note d(M, N ) la distance de M à N .

Soit a un nombre réel strictement positif. Notons A et B les points de coordonnées respec- tives (−a, 0) et (a, 0) .

Soit k un nombre réel strictement positif.

1. Soit M 6= O un point de coordonnées cartésiennes (x, y) et de coordonnées polaires (r, θ) (avec r > 0 et θ ∈] − π, π] ). On considère la courbe (C) formée par l'ensemble des points M tels que

d(A, M )d(B, M ) = k

a. Montrer que la courbe (C) est symétrique par rapport à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées.

b. Déterminer l'équation cartésienne de la courbe (C) . c. Déterminer une équation polaire (E) de la courbe (C) . 2. Dans cette question on se limite à θ ∈

0,

, ce qui revient à considérer ( ˜ C) la partie de la courbe comprise dans le quart de plan correspondant à x ≥ 0 et y ≥ 0 .

a. Pour θ xé, montrer que (E) est un trinôme en R = r

(de paramètres a, k et θ ).

b. Déterminer les conditions nécessaires et susantes vériées par a , k et θ pour que le trinôme en R admette deux solutions strictement positives, éventuellement confondues (on ne demande pas de calculer les racines).

Montrer que ces conditions sont équivalentes à : ( k ≤ a

θ ∈ I

où I

est un intervalle à préciser.

c. Si k < a , montrer que la courbe ( ˜ C) est la réunion de deux courbes (C

) (pour i ∈ {1, 2} ) admettant respectivement une équation polaire de la forme r = r

(θ) avec r

une fonction dénie sur I

. Déterminer les fonctions r

et r

.

d. Si k > a , déterminer le nombre de points d'intersections d'une droite passant par l'origine avec la courbe ( ˜ C) .

3. a. Vérier que dans le cas particulier où k = a , une équation polaire de la courbe (C) est r = a p

2 cos(2θ) .

1d'après CCP TSI maths 1 2009

b. Dans le cas où k = a et a =

√2

2

. Montrer que la vitesse au point de paramètre θ

est 1

√ cos 2θ

−

→ e

où − → e

= cos(α) − →

i + sin(α) − → j et α est à déterminer.

Étudier et tracer la courbe (C)

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Corrigé

1. a. Pour la symétrie par rapport à (Ox) , chacune des distances à A et B est conservée car A et B sont sur l'axe de symétrie. La courbe (C) est donc conservée. Pour la symétrie par rapport à (Oy) , les points A et B sont échangés. Lorsque M ∈ (C) les distances sont échangées et le produit est conservé. La courbe (C) est donc conservée.

b. On écrit simplement les distances avec des coordonnées. Comme tout est positif, l'équation devient :

(x − a)

+ y

(x + a)

+ y

= k

⇔ x

+ y

+ a

− 2ax

x

+ y

+ a

+ 2ax

= k

⇔ (x

+ y

+ a

)

− 4a

x

= k

Il ne semble pas utile de développer.

c. Lorsqu'on passe en coordonnées polaires x = ρ cos θ , y = ρ sin θ avec ρ > 0 , l'équation devient

(ρ

+ a

)

− 4a

ρ

cos

θ = k

2. a. On peut former une équation du second degré en R qui redonne (E) lorsque l'on substitue ρ

à R .

(R + a

)

− 4a

R cos θ = k

⇔ R

+ 2a

(1 − 2 cos

θ)R + a

− k

= 0 On met nalement le trinôme sous la forme

(1) R

− 2a

cos 2θ R + a

− k

= 0

b. L'équation (1) admet deux solutions strictement positives (éventuellement confon- dues) si et seulement si

le discriminant ∆ est positif ou nul

le produit P des racines est strictement positif (elles sont de même signe) la somme S des racines est strictement positive

Après calcul, on obtient donc un système de trois conditions.



 

 

∆ = 4(k

− a

sin

2θ) ≥ 0 P = a

− k

> 0 S = 2a

cos 2θ > 0

Comme a et k sont strictement positifs, la condition sur le produit donne k < a . Avec l'hypothèse θ ∈ [0,

] , la condition sur la somme devient θ ∈ [0,

] . De plus sin 2θ ≥ 0 et la condition sur le discriminant devient sin 2θ ≤

. Finalement, les trois conditions se réduisent donc à deux :



 

  k < a θ ∈

0, 1

2 arcsin k

a

O A

r1

r2

Fig. 1: Cas a = 1 , k = 0.9 . Courbes polaires r

et r

.

c. Lorsque k < a , les θ pour lesquels le discriminant est positif sont entre 0 et

1

2

arcsin k

a

. Dans ce cas, le trinôme en R admet deux solutions positives a

cos

θ + p

k

− a

sin

2θ a

cos

θ − p

k

− a

sin

2θ

La courbe ( ˜ C) est donc le support des deux courbes paramétrées (voir gure 1) :

θ ∈

0, 1

2 arcsin k

a

:



 

 

r

(θ) = q

a

cos 2θ + p

k

− a

sin

2θ r

(θ) =

q

a

cos 2θ − p

k

− a

sin

2θ

d. Dans le cas où k > a . Les droites de pente négatives ne coupent pas le quart de plan, elles ne peuvent donc pas couper la courbe. Pour les droites de pente positive on est ramené à l'éyude précédente.

Le produit des deux racines devient négatif, la somme reste positive et le discrimi- nant est positif pour tous les θ . Le trinôme admet toujours deux racines mais une seule est positive. Il existe donc un seul point d'intersection. La courbe complète prend une forme de cacahuète.

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3. a. Si k = a , le terme constant dans l'équation cartésienne disparait, on peut simplier par r

et il reste (comme r > 0 ) :

r = a p

2 cos(2θ) Cette courbe est appelée lemniscate.

b. Si k = a =

2

, la courbe paramétrée s'écrit M (θ) = O +

√

cos 2θ − → e

La vitesse se factorise bien :

−→ M

(θ) = − sin 2θ

√ cos 2θ

−

→ e

+ √

cos 2θ − → e

= 1

√

cos 2θ − sin 2θ − → e

+ cos 2θ − → e

= 1

√ cos 2θ cos 2θ − → e

+ sin 2θ − → e

= 1

√ cos 2θ

−

→ e

Examinons les symétries : M (−θ) est le symétrique de M (θ) par rapport à l'axe Ox et M (θ + Π) est le symétrique de M (θ) par rapport à O .

On se limite donc au premier quart de plan. On doit alors avoir θ compris entre 0 et

π

4

pour assurer la positivité du cos 2θ . La fonction r décroît de 1 à 0 . Les directions des tangentes se tracent facilement avec la formule du dessus. On remarque que la fonction n'est pas dérivable en

. La vitesse devient innie mais le vecteur unitaire de sa direction tend vers − → e

4

. Le tracé de ce quart de courbe est présenté en gure 2, il est à compléter par symétrie.

Fig. 2: Tracé d'un quart de lemniscate

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