MPSI B 2010-2011 Corrigé du DM 5 29 juin 2019

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MPSI B 2010-2011 Corrigé du DM 5 29 juin 2019

Problème 1.

1. a. D'après les propriétés usuelles du produit scalaire : P ( − → a

^⊥

) ∩ P( − →

b

^⊥

) = D( − → a

^⊥

∧ − → b

^⊥

) De plus ici − → c = −− → a − − →

b donc tout vecteur orthogonal à − → a et − →

b est aussi orthogonal à − → c ce qui se traduit par :

P ( − → a

^⊥

) ∩ P( − →

b

^⊥

) ⊂ P ( − → c

^⊥

) P ( − → a

^⊥

) ∩ P( − →

b

^⊥

) ∩ P( − → c

^⊥

) = P ( − → a

^⊥

) ∩ P( − →

b

^⊥

) = D( − → a

^⊥

∧ − → b

^⊥

) b. Équation normale du plan P ( − → a , − →

b ) :

−

→ u ∈ P( − → a , − →

b ) ⇔ ( − → u / − → a ∧ − → b ) = 0 On en déduit d'après le cours :

d(M, P( − → a , − → b )) =

( − → u / − → a ∧ − → b )

−

→ a ∧ − → b

2. Plans hauteurs .

a. Le plan hauteur issu de − → u est orthogonal à P ( − → v , − → w ) c'est à dire qu'il contient le vecteur − → v ∧ − → w . Il doit aussi contenir − → u . Un vecteur orthogonal au plan hauteur issu de − → u est donc

( − → v ∧ − → w ) ∧ − → u b. Preuve de l'identité de Jacobi.

Les termes se simplient deux à deux en sommant les doubles produits vectoriels : ( − → u ∧ − → v ) ∧ − → w = ( − → u / − → w ) − → v

− ( − → v / − → w ) − → u

N

( − → v ∧ − → w ) ∧ − → u = ( − → v / − → u ) − → w

− ( − → w / − → u ) − → v

( − → w ∧ − → u ) ∧ − → v = ( − → w / − → v ) − → u

N

− ( − → u / − → v ) − → w

Chacun des trois vecteurs de l'identité de Jacobi est orthogonal à un des plans hauteurs. La question 1. montre alors que l'intersection des trois plans est la droite D

_h

dirigée par le vecteur

(( − → u ∧ − → v ) ∧ − → w ) ∧ (( − → v ∧ − → w ) ∧ − → u )

3. Plans bissecteurs .

a. En utilisant les équations normale et le résultat de cours donnant la distance d'un point à un plan, on obtient que le point M est équidistant de P ( − → u , − → v ) et P( − → w , − → u ) si et seulement si :

|( − → m/ − → u ∧ − → v )|

k− → u ∧ − → v k = |( − → m/ − → w ∧ − → u )|

k− → w ∧ − → u k ou encore, pour ε ∈ {−1, +1} :

( − → m/ − → u ∧ − → v )

k− → u ∧ − → v k = ε ( − → m/ − → w ∧ − → u ) k− → w ∧ − → u k Ce qui s'écrit

( − → m/ − → α

ε

) = 0 avec − → α

ε

= 1 k− → u ∧ − → v k

−

→ u ∧ − → v + ε k− → w ∧ − → u k

−

→ w ∧ − → u

On obtient donc deux plans bissecteurs respectivement orthogonaux à − → α 1 et − → α

−1

b. Calculons les produits scalaires : ( − → α

ε

/ − → v ) = ε

k− → w ∧ − → u k ( − → w ∧ − → u / − → v ) = ε det( − → u , − → v , − → w ) k− → w ∧ − → u k ( − → α

ε

/ − → w ) = ε

k− → u ∧ − → v k ( − → u ∧ − → v / − → w ) = det( − → u , − → v , − → w ) k− → w ∧ − → u k

Ces deux produits scalaires sont donc de signe opposés uniquement pour

−

→ a = − → α

₋₁

= 1 k− → u ∧ − → v k

−

→ u ∧ − → v − 1 k− → w ∧ − → u k

−

→ w ∧ − → u

c. On déduit les autres vecteurs orthogonaux aux plans bissecteurs en permutant les lettres. Ils se simplient deux par deux dans la sommation :

−

→ a = 1 k− → u ∧ − → v k

−

→ u ∧ − → v

− 1 k− → w ∧ − → u k

−

→ w ∧ − → u

N

−

→ b = 1 k− → v ∧ − → w k

−

→ v ∧ − → w

− 1 k− → u ∧ − → v k

−

→ u ∧ − → v

−

→ c = 1 k− → w ∧ − → u k

−

→ w ∧ − → u

N

− 1 k− → v ∧ − → w k

−

→ v ∧ − → w

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M1005C

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La question 1. montre ici que l'intersection des trois plans bissecteurs (intérieurs) est une droite D

b

dirigée par :

1 k− → u ∧ − → v k

−

→ u ∧ − → v − 1 k− → w ∧ − → u k

−

→ w ∧ − → u

∧ 1

k− → v ∧ − → w k

−

→ v ∧ − → w − 1 k− → u ∧ − → v k

−

→ u ∧ − → v

4. Plans médiateurs .

a. En décomposant à l'aide du projeté orthogonal, on obtient que

k− → mk ² = d(M, D( − → v )) ² + d(M, P ( − → v

^⊥

)) ² = d(M, D( − → w )) ² + d(M, P ( − → w

^⊥

)) ² On en déduit qu'un point est à égale distance des droites si et seulement si il est à égale distance des plans.

b. Écrivons qu'un point M est à égale distance des droites en écrivant qu'il est à égale distance des plans (avec les équations normales) :

|( − → m/ − → v )|

kvk = |( − → m/ − → w )|

kwk ce qui s'écrit encore, avec ε ∈ {−1, +1} ,

( − → m/ − → α

ε

) = 0 avec − → α

ε

= 1 k− → v k

−

→ v + ε k− → w k

−

→ w

On obtient donc deux plans médiateurs associés aux deux vecteurs orthogonaux

−

→ α

₋₁

et − → α 1 .

c. Exprimons les produits scalaires avec des cos : ( − → α

ε

/ − → v ) = k− → v k + ε ( − → w / − → v )

k− → w k = k− → v k(1 + ε cos δ) = k− → v kε(ε + cos δ) où δ est l'écart angulaire entre − → v et − → w . De même

( − → α

ε

/ − → w ) = k− → v k(ε + cos δ)

On en déduit que l'unique vecteur pour lequel les produits scalaires sont de signe opposés est

−

→ a = − → α

₋₁

= 1 k− → v k

−

→ v − 1 k− → w k

−

→ w

d. Les vecteurs − →

b et − → c s'obtiennent par permutation circulaire. Les termes se simplient deux par deux lorsque l'on somme les trois. L'intersection des plans mé- diateurs est donc une droite D

m

dirigée par

1 k− → v k

−

→ v − 1 k− → w k

−

→ w

∧ 1

k− → w k

−

→ w − 1 k− → u k

−

→ u

5. Expression des vecteurs directeurs des droites.

Plans hauteurs. Avec des doubles produits vectoriels, et après avoir mis en facteur

( − → u / − → w )( − → v / − → u )( − → w / − → v ) on trouve :

−

→ u ∧ − → v

−

→ u . − → v +

−

→ v ∧ − → w

−

→ v . − → w +

−

→ w ∧ − → u

−

→ w . − → u

Plans bissecteurs. En utilisant la linéarité du produit vectoriel et après avoir multiplié par

k− → u ∧ − → v kk− → v ∧ − → w kk− → w ∧ − → u k et mis en facteur

det( − → u , − → v , − → w ) on trouve

k− → v ∧ − → w k− → u + k− → w ∧ − → u k− → v + k− → u ∧ − → v k− → w

Plans médiateurs. En utilisant la linéarité du produit vectoriel, on obtient directe- ment :

1 k− → u kk− → v k

−

→ u ∧ − → v + 1 k− → v kk− → w k

−

→ v ∧ − → w + 1 k− → w kk− → u k

−

→ w ∧ − → u

Problème 2.

1. a. Pour la symétrie par rapport à (Ox) , chacune des distances à A et B est conservée car A et B sont sur l'axe de symétrie. La courbe (C) est donc conservée. Pour la symétrie par rapport à (Oy) , les points A et B sont échangés. Lorsque M ∈ (C) les distances sont échangées et le produit est conservé. La courbe (C) est donc conservée.

2

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b. On écrit simplement les distances avec des coordonnées. Comme tout est positif, l'équation devient :

(x − a) ² + y ²

(x + a) ² + y ²

= k ⁴

⇔ x ² + y ² + a ² − 2ax

x ² + y ² + a ² + 2ax

= k ⁴

⇔ (x ² + y ² + a ² ) ² − 4a ² x ² = k ⁴ Il ne semble pas utile de développer.

c. Lorsqu'on passe en coordonnées polaires x = ρ cos θ , y = ρ sin θ avec ρ > 0 , l'équation devient

(ρ ² + a ² ) ² − 4a ² ρ ² cos ² θ = k ⁴

2. a. On peut former une équation du second degré en R qui redonne (E) lorsque l'on substitue ρ ² à R .

(R + a ² ) ² − 4a ² R cos θ = k ⁴ ⇔ R ² + 2a ² (1 − 2 cos ² θ)R + a ⁴ − k ⁴ = 0 On met nalement le trinôme sous la forme

(1) R ² − 2a ² cos 2θ R + a ⁴ − k ⁴ = 0

b. L'équation (1) admet deux solutions strictement positives (éventuellement confon- dues) si et seulement si

le discriminant ∆ est positif ou nul

le produit P des racines est strictement positif (elles sont de même signe) la somme S des racines est strictement positive

Après calcul, on obtient donc un système de trois conditions.



 

 

∆ = 4(k ⁴ − a ⁴ sin ² 2θ) ≥ 0 P = a ⁴ − k ⁴ > 0 S = 2a ² cos 2θ > 0

Comme a et k sont strictement positifs, la condition sur le produit donne k < a . Avec l'hypothèse θ ∈ [0,

^π

₂ ] , la condition sur la somme devient θ ∈ [0,

^π

₄ ] . De plus sin 2θ ≥ 0 et la condition sur le discriminant devient sin 2θ ≤

^k_a²2

. Finalement, les trois conditions se réduisent donc à deux :



 

  k < a θ ∈

0, 1

2 arcsin k ² a ²

O A

r

1

r

2

Fig. 1: Cas a = 1 , k = 0.9 . Courbes polaires r 1 et r 2 .

c. Lorsque k < a , les θ pour lesquels le discriminant est positif sont entre 0 et

1 2 arcsin k ²

a ² . Dans ce cas, le trinôme en R admet deux solutions positives a ² cos ² θ + p

k ⁴ − a ⁴ sin ² 2θ a ² cos ² θ − p

k ⁴ − a ⁴ sin ² 2θ

La courbe ( ˜ C) est donc le support des deux courbes paramétrées (voir gure 1) :

θ ∈

0, 1

2 arcsin k ² a ²

:



 

 

r ₁ (θ) = q

a ² cos 2θ + p

k ⁴ − a ⁴ sin ² 2θ r 2 (θ) =

q

a ² cos 2θ − p

k ⁴ − a ⁴ sin ² 2θ

d. Dans le cas où k > a . Les droites de pente négatives ne coupent pas le quart de plan, elles ne peuvent donc pas couper la courbe. Pour les droites de pente positive on est ramené à l'éyude précédente.

Le produit des deux racines devient négatif, la somme reste positive et le discriminant est positif pour tous les θ . Le trinôme admet toujours deux racines mais une seule est positive. Il existe donc un seul point d'intersection. La courbe complète prend une forme de cacahuète.

3. a. Si k = a , le terme constant dans l'équation cartésienne disparait, on peut simplier par r ² et il reste (comme r > 0 ) :

r = a p

2 cos(2θ)

Cette courbe est appelée lemniscate.

b. Si k = a =

^√

¹

2 , la courbe paramétrée s'écrit M (θ) = O + √

cos 2θ − → e

_θ

3

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Fig. 2: Tracé d'un quart de lemniscate

La vitesse se factorise bien :

−→ M

⁰

(θ) = − sin 2θ

√ cos 2θ

−

→ e

θ

+

√

cos 2θ − → e

θ+^π₂

= 1

√

cos 2θ − sin 2θ − → e

_θ

+ cos 2θ − → e

_θ+^π

2

= 1

√ cos 2θ cos 2θ − → e

θ+^π₂

+ sin 2θ − → e

θ+^π₂

+

^π₂

= 1

√ cos 2θ

−

→ e 3θ+

^π₂

Examinons les symétries : M (−θ) est le symétrique de M (θ) par rapport à l'axe Ox et M (θ + Π) est le symétrique de M (θ) par rapport à O .

On se limite donc au premier quart de plan. On doit alors avoir θ compris entre 0 et

π

4 pour assurer la positivité du cos 2θ . La fonction r décroît de 1 à 0 . Les directions des tangentes se tracent facilement avec la formule du dessus. On remarque que la fonction n'est pas dérivable en

^π

₂ . La vitesse devient innie mais le vecteur unitaire de sa direction tend vers − → e

5π

4

. Le tracé de ce quart de courbe est présenté en gure 2, il est à compléter par symétrie.

4