MPSI B 2010-2011 DM 3 29 juin 2019
Calculs usuels.
1. Démontrer que
n 1
1 1 −
n 2
1
2 + · · · + (−1) n−1 n
n 1
n = 1 + 1 2 + 1
3 + · · · + 1 n 2. Soit n un entier naturel non nul, calculer P
(i,j)∈T ij avec T = n
(i, j) ∈ {1, . . . , n} 2 tq i ≤ j o 3. Soit n un entier naturel non nul, calculer R 2 n + I n 2 avec
R n =
b
n2c
X
k=0
(−1) k n
2k
I n =
b
n−12c
X
k=0
(−1) k n
2k + 1
4. Soit n un entier naturel non nul, a 1 , a 2 , · · · , a n des réels strictement positifs, montrer
(a 1 + a 2 + · · · + a n )( 1 a 1
+ 1 a 2
+ · · · + 1 a n
) ≥ n 2
5. Soit n un entier naturel non nul, calculer
n 0
− 3 n
2
+ 3 2 n
4
− 3 3 n
6
+ · · ·
6. a. Développer (z − a)(z − b)(z − c) . b. Avec w = e 2iπ/7 , on considère
a = w + w 6 , b = w 2 + w 5 , c = w 3 + w 4 .
Exprimer les coecients du développement de la question a en fonction de puis- sances de w seulement en les simpliant à l'aide de relations vériées par w . En déduire une équation de degré 3 à coecients entiers dont cos 2π 7 , cos 4π 7 , cos 6π 7 sont les racines.
Équations diérentielles
On cherche à déterminer les fonctions f 1 et g 1 dénies et dérivables de R dans R qui vérient
∀t ∈ R :
( f 1 0 (t) = 2g 1 (t)
g 0 1 (t) = −f 1 (t) + te t 1. Résoudre l'équation diérentielle
y 00 + 2y = 2te t 2. Soit (f 1 , g 1 ) un couple de fonctions vériant le système.
a. Montrer que f 1 est deux fois dérivable et solution d'une équation diérentielle à préciser.
b. En déduire g 1 puis les solutions du système.
3. Montrer qu'il existe un unique couple (f 1 , g 1 ) de solutions du sytème tel que f 1 (0) = g 1 (0) = 0
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
