MPSI B Corrigé (partiel) DM 12 29 juin 2019
Éléments de corrigé Partie I
1. Le noyau de D est formé par la droite vectorielle engendrée par le polynome 1 . 2. Voir cours. Démonstration de la formule du rang.
3. L'intersection se réduit au polynome nul car la dérivée d'un polynome de degré non nul n'est pas nulle. Tout polynome P de décompose en
P = ˜ P (a) + (x − a)Q 4. a. Évident
b. Comme D a ((X − a)X i ) = (1 + i)X i − iaX i−1 , on peut former la matrice
Mat U B D a = M =
1 −a 0 · · · 0
0 2 −2a ...
0 3 ...
... ... ... 0
... −na
0 · · · 0 n + 1
Partie II
1. L'application f a est la composée de deux isomorphismes : la multiplication par X − a de R n [X] vers H a puis l'application D a étudiée dans la partie précédente.
2. Considérer les degrés.
3. Comme f a (X k ) = (1 + k)X k − kaX k−1 , on peut écrire
Mat B f a = M =
1 −a 0 · · · 0
0 2 −2a ...
0 3 ...
... ... ... 0
... −na
0 · · · 0 n + 1
4. On montre par récurrence que
P k = 1 k + 1
k
X
i=0
a k−i P k−i On en déduit
Mat B f a −1 = Mat
B g a =
1 a 2 a 32 · · · n+1 an
0 1 2 a 3 a n+1n−1
0 1 2 a 3 a n+1n−1
0 1 3 ...
... 0 ...
... ... n+1 a
0 0 · · · 0 n+1 1
Partie II
1. Cours Formule de Taylor pour les polynomes.
2. Les matrices de passage s'obtiennent avec les formules du binome
P BBb=
1 −b (−b) 2 · · · p 0
(−b) p · · · (−b) n
0 1 −2b p 1
(−b) p−1 n(−b) n−1
0 1 ...
... ... p−1 p
(−b) 1 ...
1
...
0 · · · 0 1
P BbB =
1 b b 2 · · · p 0
b p · · · b n
0 1 2b p 1
b p−1 nb n−1
0 1 ...
... ... p−1 p
b 1 ...
1 ...
0 · · · 0 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai M0512CMPSI B Corrigé (partiel) DM 12 29 juin 2019
3. Pour former les matrices de f a et g a dans B a , il ne faut surtout pas utiliser de formule de changement de base. Le calcul direct est immédiat :
f a ((X − a) k ) = (k + 1)(X − a) k Les matrices sont donc diagonales :
Mat Ba f a =
1 0 · · · 0
0 2
... ... 0
0 0 n + 1
Mat Ba
g a =
1 0 · · · 0
0 1 2
... ... 0
0 0 n+1 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
