MPSI B Énonce du DM 11 29 juin 2019

MPSI B Énonce du DM 11 29 juin 2019

On utilisera les notations suivantes pour désigner certains vecteurs et certaines droites de R ² .

U = (0, 1), D 1 = Vect (U ) V = (1, 0), D 2 = Vect (V )

λ ∈ R , W λ = (λ, 1), ∆ λ = Vect (W λ ) T = (1, 1), D 4 = Vect (T )

u _θ = (cos θ, sin θ), δ _θ = Vect (u _θ ) La base canonique C de R ² s'écrit alors (V, U ).

On dira aussi qu'une famille (d ₁ , d ₂ , · · · , d _m ) de droites vectorielles est régulière si et seulement si il existe f ∈ GL( R ² ) telle que

{d 1 , d 2 , · · · , d m } = n

f (δ 0 ), f (δ

m

), · · · , f(δ

) o

Le dernier ensemble est formé par les images ensemblistes des droites vectorielles.

Toutes les droites et tous les vecteurs considérés dans le problème sont dans R ² .

I. Familles de droites

Soient d 1 , d 2 , d 3 , d 4 quatre droites deux à deux distinctes.

1. a. Montrer que tout couple de d 1 × d 2 formé de vecteurs non nuls est un sytème libre.

b. Montrer que (d 1 , d 2 ) est régulière, citer précisément le théorème de cours utilisé.

2. a. Montrer qu'on peut trouver des vecteurs v 1 , v 2 , v 3 non nuls respectivement dans d 1 , d 2 , d 3 et tels que

v 1 + v 3 = v 2

b. Exprimer u ₀ + u

3

comme un u _θ , en déduire que (d ₁ , d ₂ , d ₃ ) est régulière.

3. Montrer qu'il existe λ ∈ R− {0, 1} et des vecteurs w ₁ , w ₂ , w ₃ , w ₄ tels que

∀i ∈ {1, · · · , 4} d i = Vect (w i ) w 3 = w 1 + λw 2

w ₄ = w ₁ + w ₂

4. Montrer qu'il existe λ ∈ R− {0, 1} et f ∈ GL( R ² ) tels que

d 1 = f (D 1 ), d 2 = f (D 2 ), d 3 = f (∆ λ ), d 4 = f (D 4 )

II. Birapport de quatre droites

Etant donnés quatre vecteurs V _i = (x _i , y _i ) ( i ∈ {1, · · · , 4} ) supposés deux à deux indé- pendants, on pose

∀(i, j) ∈∈ {1, · · · , 4} ² β ij = x i y j − x j y i

1. Exprimer β ij à l'aide d'un déterminant, en déduire β ij 6= 0 pour i 6= j . On note

b(V 1 , V 2 , V 3 , V 4 ) = β ₁₃ β ₂₄ β 14 β 23

2. Pour λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , λ ₄ des réels non nuls, calculer b(λ ₁ V ₁ , λ ₂ V ₂ , λ ₃ V ₃ , λ ₄ V ₄ ) et justier la dénition suivante.

Soit d 1 , d 2 , d 3 , d 4 des droites deux à deux distinctes et V 1 , V 2 , V 3 , V 4 des vec- teurs non nuls respectivement dans d 1 , d 2 , d 3 , d 4 ;

le birapport de (d 1 , d 2 , d 3 , d 4 ) est le nombre noté B(d 1 , d 2 , d 3 , d 4 ) déni par B(d 1 , d 2 , d 3 , d 4 ) = b(V 1 , V 2 , V 3 , V 4 )

3. Soit f ∈ GL( R ² ) et d 1 , d 2 , d 3 , d 4 des droites deux à deux distinctes, montrer que B(f (d ₁ ), f(d ₂ ), f (d ₃ ), f (d ₄ )) = B(d ₁ , d ₂ , d ₃ , d ₄ )

4. Calculer B(δ 0 , δ

4

, δ

2

, δ

)

5. Pour quelles valeurs de λ les droites D 1 , D 2 , ∆ λ , D 4 sont elles deux à deux distinctes ? Dans ce cas calculer B(D 1 , D 2 , ∆ λ , D 4 ) .

III. Quelques propriétés de groupes nis

1. Montrer que les quatre transpositions (1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4) engendrent le groupe S 4 des permutations de ∈ {1, 2, 3, 4} .

2. On dénit des bijections i, a, b, c, d, e de R− {0, 1} dans R− {0, 1} en posant

∀λ ∈ R− {0, 1} : i(λ) = λ, a(λ) = 1

λ , b(λ) = 1 − λ c = a ◦ b, d = b ◦ a, e = a ◦ b ◦ a

Montrer que toute composée de a et b est dans {i, a, b, c, d, e} . (on pourra utiliser le nombre de bijections intervenant dans la composition)

En déduire que {i, a, b, c, d, e} est le sous-groupe du groupe des bijections de R− {0, 1}

dans lui même engendré par a et b .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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IV. Eet d'une permutation sur le birapport

Soit λ ∈ R− {0, 1} et d ₁ , d ₂ , d ₃ , d ₄ quatre droites deux à deux distinctes, on pose ici D 3 = ∆ λ .

1. Exprimer

B(D _σ(1) , D _σ(2) , D _σ(3) , D _σ(4) ) en fonction de λ pour σ ∈ {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)} .

2. Montrer que B(D _σ(1) , D _σ(2) , D _σ(3) , D _σ(4) ) peut prendre au plus six valeurs lorsque σ décrit S 4 . Préciser ces valeurs en fonctions de λ .

3. Montrer que B(d _σ(1) , d _σ(2) , d _σ(3) , d _σ(4) ) peut prendre au plus six valeurs lorsque σ décrit S 4 .

4. Pour quelles valeurs réelles de B(d 1 , d 2 , d 3 , d 4 ) l'ensembles des B(d σ(1) , d σ(2) , d σ(3) , d σ(4) ) avec σ ∈ S 4 contient-il strictement moins de six élé- ments ?

5. Donner une condition nécessaire et susante assurant que (d 1 , d 2 , d 3 , d 4 ) est régulière.

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