Former un polynôme de degré 3 dont les racines x , y , z vérient le systéme d'équations suivant :

MPSI B DS 6 29 juin 2019

Exercice

Former un polynôme de degré 3 dont les racines x , y , z vérient le systéme d'équations suivant :







x + y + z = 2 x ² + y ² + z ² = 6

1

x + ¹ _y + ¹ _z = ¹ ₂

Problème I.

Dans tout le problème, N est un nombre entier naturel non nul xé et E désigne l'espace vectoriel sur R des polynômes à coecients réels de degré inférieur ou égal à N . On considère la fonction f qui à tout polynôme U de E associe le polynôme

V = XU − 1

N (X ² − 1)U ⁰ où U ⁰ désigne la dérivée de U .

On dira que B ∈ E est un polynôme propre pour f de valeur propre λ lorsque B est non nul et vérie

f (B) = λB

1. a. Vérier que f est linéaire. Calculer f (X ⁱ ) pour i ≤ N entier naturel.

b. Montrer que l'image par f d'un élément de E est un élément de E . 2. Soit B un polynôme propre de valeur propre λ . Montrer que B est de degré N . 3. Soit B un polynôme propre de valeur propre 1 . Montrer que −1 est racine de B . Quelle

est sa multiplicité ?

4. Étudier de même le cas où B est un polynôme propre de valeur propre −1 .

5. On suppose ici que B est un polynôme propre de valeur propre λ avec λ diérent de

−1 et 1 . Montrer que −1 et 1 sont racines de B . On note k ⁺ la multiplicité de 1 et k ⁻ celle de −1 . On pose

B = (X − 1) ^k

(X + 1) ^k

A avec A ∈ E . Montrer que

k ⁺ + k ⁻ = N Exprimer alors λ en fonction de k ⁺ et N .

6. Montrer qu'il existe une base de E formée de polynômes propres pour f .

Problème II.

Partie I

Soit a 6= 1 un réel xé, on considère l'ensemble S des suites réelles (w n ) _n∈N vériant :

∀n ∈ N , w n+2 = (2 − a)w n+1 + (a − 1)w n

On rappelle que S est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel sur R des suites réelles.

1. Déterminer, suivant les valeurs de a une base de S .

2. Soit w un élément de S . Suivant les valeurs de a , exprimer w n pour n ∈ N en fonction de w 0 et w 1 .

Partie II

Soit V un R espace vectoriel de dimension 3 et B = (u, v, w) une base de V . Les endo- morphismes f et g de V sont dénis par les relations suivantes :

f (u) = 0 V , f (v) = u − v, f (w) = 0 V

g(u) = 0 V , g(v) = 0 V , g(w) = u − w

On pose aussi E = {h a,b , (a, b) ∈ ( R − {1}) ² } avec, pour a et b réels diérents de 1, h a,b

déni par

h a,b = Id V + af + bg

1. Montrer que (E, ◦) est un sous-groupe commutatif du groupe (GL(V ), ◦) des automor- phismes de V .

2. Résoudre dans E les équations suivantes

(1) : h a,b ◦ h a,b = h a,b , (2) : h a,b ◦ h a,b = Id V

Partie III

On utilise les notations des parties I et II. Soit a un réel, a 6= 1 et M = h _a,a . 1. Montrer que M ² est combinaison linéaire de M et Id _V .

2. Établir l'existence de deux suites réelles (α n ) _n∈N et (β n ) _n∈N telles que :

∀n ∈ N : M ⁿ = α _n M + β _n Id _V avec

α _n+1 = xα _n + yβ _n β _n+1 = x ⁰ α _n + y ⁰ β _n et x , y , x ⁰ , y ⁰ étant des réels à déterminer.

3. Vérier que α ∈ S . En déduire l'expression de α n puis celle de β n en fonction de n .

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Partie IV

Soit A = h _2,2 . On désigne par F le sous-espace vectoriel engendré par A et Id _V . 1. (F, +, ◦) est-il un sous-anneau de (L(V ), +, ◦) ?

2. Existe-t-il dans F des éléments non nuls dont le produit ( ◦ ) soit nul ? 3. Quels sont les éléments de F dont le produit ( ◦ ) est Id _V ?

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