MPSI B DS COMMUN 29 juin 2019
Problème I
On désigne par R [X ] l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels, et par R
n[X ] le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n , pour tout entier naturel n . Soit (T
n)
n∈Nla suite de polynômes de R [X ] dénie par T
0(X) = 1 , T
1(X ) = X , puis la relation :
∀n ≥ 1 T
n+1(X ) = 2XT
n(X ) − T
n−1(X).
Partie I. Étude de la suite des polynômes (T
n) . 1. Déterminer les polynômes T
2et T
3.
2. Déterminer le degré, la parité et le coecient dominant de T
mpour m ∈ N.
3. Soit n dans N. Montrer que la famille (T
0, T
1, . . . , T
n) est une base de R
n[X] . 4. a. Etablir par récurrence les relations suivantes pour tout nombre réel x :
∀n ∈ N T
n(cos x) = cos(nx) ; T
n( ch x) = ch (nx).
On rappelle que : ∀(a, b) ∈ R
22 ch (a) ch (b) = ch (a + b) + ch (a − b).
b. En déduire que |T
n(u)| ≤ 1 pour |u| ≤ 1 .
c. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que, pour tout u dans ]1, +∞[ , |T
n(u)| >
1 (on pourra poser u = ch (x) ).
d. En déduire que, pour tout n entier naturel non nul et pour tout u dans ] − ∞, −1]∪]1, +∞[ , |T
n(u)| > 1 .
5. a. Pour tout n entier naturel non nul, résoudre dans [0, π] l'équation T
n(cos(x)) = 0
b. En déduire que, pour n un entier naturel non nul, T
na n racines réelles dans [−1, 1] .
c. Soit n un entier naturel non nul. Donner la décomposition de T
nen facteurs irréductibles dans R [X ] .
6. Pour |t| < 1 et x réel, considérons la suite de terme général P
nk=0
t
ke
ikx. Montrer que cette suite converge et calculer sa limite.
Partie II. Étude d'un produit scalaire sur R [X] .
Dans toute la suite, on désigne par n un entier naturel non nul et les racines de T
npar cos(x
1), cos(x
2), . . . , cos(x
n) où :
x
k= 2k − 1
2n π, k ∈ {1, . . . , n}.
On associe à tout couple (P, Q) de polynômes de R [X ] l'intégrale suivante :
< P, Q >=
Z
π 0P (cos(x))Q(cos(x))dx.
1. Montrer que l'application (P, Q) 7→< P, Q > dénit un produit scalaire sur R [X ] . 2. a. Soit (p, q) ∈ N
2tel que p 6= q . Calculer < T
p, T
q> .
b. Calculer < T
0, T
0> et < T
n, T
n> .
c. En déduire que, pour n entier naturel non nul, T
nest orthogonal à R
n−1[X ] . d. En utilisant les questions I.2, II.2.b et II.2.c, montrer que
< T
n, X
n>= π 2
n3. Montrer que la famille (T
0, . . . , T
n) est une base orthogonale de R
n[X ] . Partie III. Calcul exact d'une intégale.
On associe à un polynôme P de R [X] l'intégrale et la somme suivantes :
I(P ) = Z
π0
P (cos(x))dx et S
n(P ) = π n
n
X
k=1
P (cos(x
k)).
1. On note, pour j ∈ {0, . . . , n} , c
j= P
nk=1
cos(jx
k) . a. Calculer c
0.
b. Calculer pour j ∈ {1, . . . , n − 1} ,
n
X
k=1
e
ijπnk.
c. En déduire que, pour j ∈ {1, . . . , n − 1} , c
j= 0 .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S0511EMPSI B DS COMMUN 29 juin 2019
2. a. Pour p ∈ {0, . . . , n − 1} , calculer I(T
p) et S
n(T
p) .
b. En déduire que, pour tout P dans R
n−1[X ] , I(P ) = S
n(P ) .
3. Soit P un polynôme de R
2n−1[X] . On note Q et R respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de P par T
n; on a donc P = QT
n+ R où R ∈ R
n−1[X ] .
a. Montrer que Q ∈ R
n−1[X ] .
b. En déduire, en utilisant II.2.c, que I(P ) = I(R) . c. En déduire que, pour P ∈ R
2n−1[X] , I(P ) = S
n(P ) . 4. Calculer I(T
2n) et S
n(T
2n) ; qu'en conclut-on ?
Problème II
Dans tout le problème
1, on désigne par n un entier égal à 2 ou 3 et par A une matrice (n, n) symétrique dont les coecients a
ijsont des entiers naturels non nuls. Les coecients de la diagonale principale de A sont des 1.
On désigne par M la matrice réelle carrée d'ordre n et de coecient m
ijdéni par : m
ij= − cos π
a
ijDans le cas n = 2 , on notera
a = a
12= a
21, m = m
12= m
21= − cos
πaOn désigne par E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n dont le produit scalaire est noté (./.) . On se propose d'étudier les bases B = (e
1, · · · , e
n) telles que :
∀(i, j) ∈ J 1, n K
2
, (e
i/e
j) = m
ijOn dira alors que B vérie la propriété M .
Partie I. Existence d'une famille vériant M . 1. Calculer le déterminant de M pour n égal à 2 ou 3.
2. Montrer que s'il existe une base B vériant M alors a
ij≥ 2 pour tous les couples (i, j) tels que i 6= j .
Dans toute la suite du problème, on suppose a
ij≥ 2 pour tous les couples (i, j) tels que i 6= j .
1d'après Centrale Supélec 2 PC 2005
3. Cas n = 2 . Construire une base directe vériant M .
4. Cas n = 3 . On veut construire une base directe B = (e
1, e
2, e
3) vériant M . Soit (a
1, a
2, a
3) une base orthonormée directe de E , on pose e
1= a
1.
a. Préciser un vecteur e
2∈ Vect(a
1, a
2) tel que
(e
1, e
2, a
3) directe et (e
1/e
2) = m
12b. L'ensemble des vecteurs x de E tels que
( (x/e
1) = m
13(x/e
2) = m
23forme une droite ane D .
Quelle est sa direction ? Calculer les coordonnées dans (a
1, a
2) du point d'inter- section D avec le plan Vect(a
1, a
2) . En déduire la distance du vecteur nul à la droite D .
c. Traduire par une propriété géométrique faisant intervenir D l'existence d'un vec- teur e
3tel que (e
1, e
2, e
3) vérie M .
d. Montrer que si det M > 0 il existe une base B vériant M . 5. Cas particulier n = 3 et
A =
1 3 2 3 1 4 2 4 1
Préciser M et montrer qu'il existe une base B vériant M . Partie II. Famille de réexions.
Dans cette partie, B = (e
1, · · · , e
n) est une base directe vériant M . On désigne par σ
ila réexion telle que
σ
i(e
i) = −e
i1. On considère deux vecteurs x et y de E admettant pour coordonnées dans B respecti- vement (x
1, · · · , x
n) et (y
1, · · · , y
n) . Comment peut-on traduire matriciellement qu'ils sont orthogonaux ?
2. Cas n = 2 .
a. Former les matrices S
1, S
2, T dans B de σ
1, σ
2et τ = σ
1◦ σ
2. Pour trouver S1 , on pourra par exemple considérer le vecteur me
1− e
2qui est orthogonal à e
1.
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b. Soit C = (a
1, a
2) une base orthonormée directe avec a
1= e
1. Former les matrices dans C de σ
1, σ
2et τ . En déduire la nature et les éléments géométriques de τ . 3. Cas n = 3 . Former les matrices S
1, S
2, S
3dans B de σ
1, σ
2, σ
3. On pourra par exemple
considérer les vecteurs m
12e
1− e
2et m
13e
1− e
3qui sont orthogonaux à e
1. 4. Cas particulier n = 3 et
A =
1 3 2 3 1 4 2 4 1
a. Former la matrice T de τ = σ
1◦ σ
2◦ σ
3dans B .
b. Déterminer un vecteur unitaire u tel que τ(u) = −u puis une base orthonormée directe D = (u, v, w) . On choisira un vecteur v combinaison linéaire de e
1et e
3. c. Former la matrice de τ dans D . En déduire sa nature et ses éléments géométriques.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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