MPSI B Corrigé du DM 11 29 juin 2019
Problème 1
1. Par convention s
0= 1 . L'identité est la seule permutation d'un ensemble à un élément, elle ne transpose aucune paire donc s
1= 1 . Un ensemble à deux éléments admet deux permutations : une transpose une paire l'autre non donc s
2= 1 . Un ensemble à trois éléments admet six permutations : l'identité deux 3-cycles et deux transpositions. Les trois transpositions transposent chacune une paire, les trois autres permutations n'en transposent aucune donc s
3= 3 . On en déduit
u
0= 1, u
1= 1, u
2= 1
2 , u
3= 1 2
2. a. Dans un ensemble à n éléments on peut former C
n2=
n(n−1)2paires. Il existe donc
n(n−1)
2
s
n−2permutations qui transposent exactement une paire.
b. Si k n'est pas entre 0 et E(
n2) , on ne peut pas trouver k paires distinctes dans l'en- semble. Il ne peut donc pas exister de permutations xant k paires. En revanche, lorsque k est entre 0 et E(
n2) , on peut trouver k paires distinctes. La permutation composée des transpositions associées à ces paires les transpose évidemment.
c. Le nombre de permutations transposant exactement k paires est le nombre de parties à 2k éléments multiplié par le nombre de permutations transposant k paires dans un ensemble à 2k éléments.
Commençons par calculer le nombre x
kde familles de k paires dont la réunion forme l'ensemble à 2k éléments. Il est clair que x
1= 1 et que x
k=
2k(2k−1)2x
k−1en considérant à part la première paire. On en déduit x
k= k! (2k − 1)(2k − 3) · · · 1
Comme deux transpositions disjointes commutent, le nombre de permutations ainsi formées n'est pas le nombre de familles mais le nombre de partitions soit
xk!k. On en déduit que le nombre de parmutations transposant exactement k paires est
C
n2k(2k − 1)(2k − 3) · · · 1 s
n−2k3. a. On peut classer toutes les permutations (il y en a n! ) suivant le nombre de paires qu'elles transposent. On en déduit
n! = s
n+
E(n2)
X
k=1
nb de permut transposant k paires
= s
n+
E(n2)
X
k=1
C
n2k(2k − 1)(2k − 3) · · · 1 s
n−2kb. En faisant passer la somme de l'autre côté de l'égalité et en divisant par n! , on obtient
u
n= 1 −
E(n2)
X
k=1
(2k − 1)(2k − 3) · · · 1 (2k)!
s
n−2k(n − 2k)!
Dans
(2k−1)(2k−3)···1(2k)!
, le produit de tous les impairs entre 1 et 2k se simplie laissant seulement le produit des puissances paires au dénominateur. On peut factoriser k fois le nombre 2 d'où
u
n= 1 −
E(n2)
X
k=1
u
n−2k2
kk! (1)
4. a. On veut montrer que u
2p+1= u
2p. Remarquons que E(
2p+12) = E(
2p2) = p . On en déduit que u
2p+1et u
2psont égaux à des sommes ayant le même nombre de termes.
Les indices intervenant dans ces sommes sont de la forme 2p+1 −2k = 2(p−k)+1 et 2p − 2k = 2(p − k) avec k ≥ 1 . Par conséquent, en raisonnant par récurrence sur p , les u correspondants sont égaux. On en déduit u
2p+1= u
2p.
b. On pose v
p= 2
pu
2p. Après multiplication par 2
p, la relation (1) devient
v
p= 2
p−
p
X
k=1
2
p−kk! u
2p−2k= 2
p−
p−1
X
j=0
v
j(p − j)!
en posant j = p − k .
c. Le calcul se fait récursivement à la machine à l'aide de la formule précédente. On obtient
v
0= 1, v
1= 1, v
2= 5
2 , v
3= 29
6 , v
4= 233 24 u
0= u
1= 1, u
2= u
3= 1
2 , u
4= u
5= v
24 = 5 8 u
6= u
7= v
38 = 29
48 , u
8= u
9= v
416 = 233 384 s
0= 1, s
1= 1, s
2= 1, s
3= 3!u
3= 3, s
4= 4! 5
8 = 15, s
5= 5! 5
8 = 75, s
6= 6! 29 48 = 435, s
7= 7! 29
48 = 3045, s
8= 8! 233
384 = 24465, s
9= 9! 233
384 = 220185
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai M0111CMPSI B Corrigé du DM 11 29 juin 2019
Problème 2
Partie I. Coecients du polynôme caractéristique
1. Pour calculer le premier déterminant, on le développe suivant la dernière colonne, chaque déterminant 3 × 3 qui apparaît est triangulaire :
P
A(x) = −a
−1 x 0
0 −1 x
0 0 −1
+ b
x 0 0
0 −1 x
0 0 −1
− c
x 0 0
−1 x 0
0 0 −1
+ (x + d)
x 0 0
−1 x 0
0 −1 x
= x
4+ dx
3+ cx
2+ bx + a
Je connais pas d'astuce pour calculer le deuxième déterminant. En développant suivant la première colonne, on obtient
P
A(x) = x(x
2+ c) − a(−ax + bc) + b(ac + xb) = x(x
2+ a
2+ b
2+ c
2)
2. Le déterminant d'une matrice n × n est une somme de produits. Chaque produit est formé de n facteurs. Les coecients diagonaux de la matrice sont de degré 1 en x tous les autres sont de degré 0. Le polynôme P est donc de degré n au plus. En fait, le degré d'un produit intervenant dans la somme est le nombre de termes diagonaux qu'il contient (c'est à dire le nombre de points invariants de la permutation dénissant ce produit). Il est impossible qu'un produit contienne n − 1 termes diagonaux car il doit y avoir un terme par colonne et par ligne. Ainsi, seul le produit de tous les termes diagonaux contribue aux degrés n et n − 1 . Les coecients de x
net de x
n−1dans P
Aviennent donc de
(x − a
1 1)(x − a
2 2) · · · (x − a
n n)
Le coecient dominant de P
Aest 1, celui du terme de degré n − 1 est − tr(A) . 3. a. Utilisons la multilinéarité du déterminant pour développer det(hI
n+ B) . En no-
tant C
1, C
2, · · · , C
nles colonnes de B , on obtient :
det(hI
n+ B) = det(C
1+ hX
1, C
2+ hX
2, · · · , C
n+ hX
n)
= det(C
1, C
2, · · · , C
n)
+ h (det(X
1, C
2, · · · , C
n) + det(C
1, X
2, · · · , C
n) + · · · + det(C
1, C
2, · · · , X
n)) + h
2(· · · ) + · · ·
Considérons det(C
1, · · · , X
i, · · · , C
n) où X
ivient remplacer seulement la i -ème colonne. En développant ce déterminant justement suivant la i -ème colonne, il apparait égal au terme i, i de Com(B) ou de
tCom(B) . On en déduit que le coecient de h dans det(hI
n+ B) est tr (
tCom(B)) .
b. La question précédente s'applique en écrivant P
A(x) = det(xI
n− (−B)) , le coef- cient de x est donc
tr(
tCom(−A)) = (−1)
n−1tr(
tCom(A))
Le facteur (−1)
n−1s'explique car chaque terme de
tCom(A) est un déterminant de taille (n − 1) × (n − 1) .
Partie II. Théorème de Cayley-Hamilton
1. Chaque terme de la matrice B
0+ xB
1+ · · · + x
nB
nest une expression polynomiale à coecients réels. Si une telle expression s'annule pour une innité de valeurs de x , le polynôme associé est nul. Ainsi, pour chaque couple (i, j) , tous les termes i, j de toutes les matrices B
ksont nuls. On peut formuler ce principe sous la forme suivante.
Si deux expressions polynomiales d'une variable x réelle et à coecients matriciels sont égales pour une innité de valeurs de x , on peut identier terme à terme tous les coecients matriciels.
2. Chaque terme de la matrice Com(xI
n− A) est un déterminant n − 1 × n − 1 formé avec des termes de xI
n− A . C'est donc un polynôme en x de degré au plus n − 1 . En décomposant en une somme de matrices telles qu'un x
kse factorise dans chaque, on obtient l'existence des matrices C
0, C
1, · · · , C
n−1.
3. On sait d'après le cours sur le déterminant (formules de Cramer) que
C(x)(xI
n− A) = P
A(x)I
nD'autre part,
C(x)(xI
n− A) = C
0+ xC
1+ · · · + x
n−1C
n−1(xI
n− A)
= −AC
0+ x(C
0− C
1A) + x
2(C
1− C
2A) + · · · + x
n−1(C
n−2− C
n−1A) + x
nA et P
A(x)I
n= a
nI
n+ xa
n−1I
n+ · · · + x
n−1a
1I
n. Le principe d'identication de la
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Rémy Nicolai M0111CMPSI B Corrigé du DM 11 29 juin 2019
question II 1. prouve alors les relations demandées.
C
n−1= I
nC
n−2− C
n−1A = a
1I
nC
n−3− C
n−2A = a
2I
n...
C
0− C
1A = a
n−1I
n−C
0A = a
nI
n4. a. Les relations précédentes permettent de calculer C
n−1, Cn − 2, · · · . On trouve C
n−1= I
n, C
n−2= A + a
1I
n, C
n−3= A
2+ a
1A + a
2I
n,
· · · , C
2= A
n−3+ a
1A
n−4+ · · · + a
n−3I
n,
C
1= A
n−2+ a
1A
n−3+ · · · + a
n−2I
n, C
0= A
n−1+ a
1A
n−2+ · · · + a
n−1I
nb. En reportant l'expression de C
0dans la dernière relation, on obtient le théorème de Cayley-Hamilton.
A
n+ a
1A
n−1+ · · · + a
n−1A + a
nI
n= 0
Mn(R)Partie III. Application aux matrices nilpotentes
1. a. La formule de Taylor pour un polynôme de degré n donne
P (x + h) = P(x) + hP
0(x) + · · · + P
n(x) n! h
nb. La question précédente fournit une expression de h dans le développement de P(x + h) . En écrivant P(x + h) = det (hI
n+ (xI
n− A)) , on déduit
P
0(x) = tr(
tCom(xI − A)) = tr(C(x))
2. Exprimons la trace de C(x) à l'aide de C(x) = C
0+ xC
1+ · · · + x
n−1C
n−1. Il vient par linéarité :
tr(C(x)) = tr(C
0) + x tr(C
1) + · · · + x
n−1tr(C
n−1)
D'autre part, tr(C(x)) = P
0(x) = nx
n−1+ (n − 1)a
1x
n−2+ · · · + a
n−1. En identiant les deux expressions polynomiales de cette trace, on obtient
tr(C
0) = a
n−1, · · · , tr(C
n−2) = (n − 1)a
1, tr(C
n−1) = n soit tr(C
j) = (n − j)a
n−j−1pour j entre 1 et n − 1 .
3. Supposons tr(A) = tr(A
2) = · · · = tr(A
n) = 0 . Les expressions des C
ien fonction des puissances de A trouvées en II 4a. montrent que
tr(C
0) = n, tr(C
n−2) = na
1, tr(C
n−3) = na
2, · · · ,
tr(C
1) = na
n−2, tr(C
0) = na
n−1D'après les relations de III 2.,
(n − 1)a
1= na
1, (n − 2)a
2= na
2, · · · , a
n−1= na
n−1⇒ a
1= a
2= · · · = a
n−1= 0 et le théorème de Cayley-Hamilton entraîne A
n= 0
Mn(R).
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