MPSI B Corrigé du DM 11 29 juin 2019

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Partie I

1. Le polynôme caractéristique attachée à cette relation de récurrence linéaire est X ² − (2 − a)X − (a − 1) = (X − 1)(X − a + 1)

Lorsque a 6= 0 , les deux racines sont distinctes, une base de S est formée par (1) _n∈N , ((1 − a) ⁿ ) _n∈N

Lorsque a = 0 , une base est formée par

(1) n∈ N , (n) n∈ N

2. Lorsque a 6= 0 , il existe des nombres α et β tels que pour tous les entiers n : w n = α + β (1 − a) ⁿ

On résoud le système aux inconnues α et β formé en prenant n = 0 et n = 1 . On en déduit que pour tout entier n :

w _n = w 0 − w 1

a (1 − a) ⁿ + w 1 − (1 − a)w 0

a On raisonne de même dans le cas a = 0 et on obtient

w n = w 0 + (w 1 − w 0 )n

Partie II

1. Pour montrer que (E, ◦) est un sous-groupe du groupe des automorphismes de V , trois points sont à vérier : la commutativité de la composition, la stabilité de la composition, la bijectivité d'un élément de E et le fait que sa bijection réciproque soit aussi dans E .

On commence par calculer f ◦ f , f ◦ g , g ◦ f , g ◦ g en considérant les images de vecteurs de base. On obtient :

f ◦ f(u) = 0 E , f ◦ f (v) = −f (v) = v − u, f ◦ f (w) = 0 E

f ◦ g(u) = 0 _E , f ◦ g(v) = 0 _E , f ◦ g(w) = f (u) − f (w) = 0 _E g ◦ f(u) = 0 E , g ◦ f (v) = g(u) − g(v) = 0 E , g ◦ f (w) = 0 E

g ◦ g(u) = 0 E , g ◦ g(v) = 0 E , g ◦ g(w) = −g(w) = −u + w

On en déduit (unicité du prolongement linéaire)

f ◦ f = −f, f ◦ g = g ◦ f = 0 _E , g ◦ g = −g puis

h _a,b ◦ h _a

_,b

= (Id _V + af + bg) ◦ (Id _V + a ⁰ f + b ⁰ g)

= Id V + (a + a ⁰ − aa ⁰ )f + (b + b ⁰ − bb ⁰ )g = h a+a

−aa

,b+b

−bb

∈ E à condition que a + a ⁰ − aa ⁰ 6= 1 et b + b ⁰ − bb ⁰ 6= 1 . Ceci est réalisé car

a + a ⁰ − aa ⁰ − 1 = (a − 1)(1 − a ⁰ ), b + b ⁰ − bb ⁰ − 1 = (b − 1)(1 − b ⁰ )

avec a, a ⁰ , b, b ⁰ diérents de 1 . On a donc montré la stabilité de E et la commutativité de la composition.

En ce qui concerne la bijectivité : remarquons d'abord que Id V = h 0,0 . On en tire

h a,b ◦ h a

,b

= Id V ⇔

( a + a ⁰ − aa ⁰ = 0 b + b ⁰ − bb ⁰ = 0 ⇔



 

 

a ⁰ = a a − 1 b ⁰ = b

b − 1 On en conclut que h a,b est bijectif de bijection réciproque

h ⁻¹ _a,b = h

a−1

,

∈ E car a

a − 1 6= 1 et b b − 1 6= 1 2. L'équation (1) est équivalente au système

( a + a(1 − a) = a b + b(1 − b) = b ⇔

( a(1 − a) = 0 b(1 − b) = 0 La solution dans E est donc

h 0,0 = Id V

3. L'équation (2) est équivalente au système

( a(2 − a) = 0 b(2 − b) = 0

qui admet quatre couples solutions. Les solutions dans E sont h _0,0 = Id _V , h _0,2 , h _2,0 , h _2,2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Partie III

1. D'après l'expression du produit dans E obtenue en II.1.

M = Id _V + a(f + g) ⇒ M ² = Id _V + a(2 − a)(f + g) d'où

(2 − a)M = (2 − a)Id V + a(2 − a)(f + g) = (2 − a)Id V + M ² − Id V

⇒ M ² = (a − 1)Id V + (2 − a)M 2. Supposons que M ⁿ = α _n M + β _n Id _V pour un certain entier n . Alors

M ⁿ⁺¹ = α n M ² + β n M = (β − n + (2 − a)α n )M + (a − 1)α n Id V

Ceci prouve l'existence des deux suites, elles sont dénies par récurrence par les for- mules

α _n+1 = β _n + (2 − a)α _n β _n+1 = (a − 1)α _n et les conditions initiales

α 0 = 0, β 0 = 1 α 1 = 1, β 1 = 0 3. D'après les relations de récurrence de la question précédente,

α n+2 = β n+1 + (2 − a)α n+1 = (a − 1)α n + (2 − a)α n+1

donc (α _n ) _{n∈ N} ∈ S . D'après la partie I, on obtient Si a 6= 0 :

α n = − 1

a (1 − a) ⁿ + 1

a , β n = − 1

a (1 − a) ⁿ + a − 1 a , M ⁿ = 1 − (1 − a) ⁿ

a M + (1 − a) ⁿ + a − 1 a Id V

Si a = 0 :

α n = n, β n = 1 − n, M ⁿ = nM − (n − 1) Id V

Partie IV

1. F est clairement stable pour l'addition, comme h ² _2,2 = Id _V il est stable pour ◦ de plus il contient Id V . C'est donc un sous-anneau.

2. Il existe des éléments non nuls dont le produit est nul. Par exemple (Id V − h 2,2 ) ◦ (Id V + h 2,2 )

3. L'équation

(λ Id _V +µh _2,2 ) ◦ (λ ⁰ Id _V +µ ⁰ h _2,2 ) = Id _V se traduit par le système aux inconnues λ ⁰ et µ ⁰

( λλ ⁰ + µµ ⁰ = 1 µλ ⁰ + λµ ⁰ = 0

que l'on résoud par les formules de Cramer. On trouve, pour λ 6= µ : 1

λ ² − µ ² (λ Id _V −µh 2,2 ) ◦ (λ Id _V +µh _2,2 ) = Id _V

Les éléments inversibles du sous-anneau F sont donc les λ Id _V +µh _2,2 avec |λ| 6= |µ| .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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