MPSI B 2008-2009 Corrigé du DM 5 29 juin 2019

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MPSI B 2008-2009 Corrigé du DM 5 29 juin 2019

1. Le vecteur − → e

t

étant déni relativement à un repère orthonormé dont les fonctions coordonnées sont notées x et y . L'énoncé n'est pas très explicite mais dénit Γ comme le support de la courbe paramétrée ( θ ∈ R)

f (θ) = O + (1 + cos t) − → e

_θ

On peut restreindre l'espace de dénition à ] − π, +π[ car la fonction est clairement 2π périodique. L'origine du repère est le point associé aux valeurs −π et π du paramètre.

On convient donc de l'enlever de Γ .

On peut exprimer x(f (θ)) et y(f (θ)) en fonction de tan

^θ₂

:

x(f (θ)) = 2 1 − tan

^θ₂²

(1 + tan

^θ₂²

)

²

y(f (θ)) = 4 tan

^θ₂

(1 + tan

^θ₂²

)

²

On en déduit que g ◦ ϕ = f avec

g(t) = 0 + 2 1 − t

²

(1 + t

²

)

²

−

→ i + 4t (1 + t

²

)

²

−

→ j

Les courbes paramétrées f et g ont donc le même support Γ , la fonction ϕ réalisant un changement de paramètre admissible entre les deux.

2. Notons respectivement u et v les fonctions x ◦ g et y ◦ g :

u(t) = 2 1 − t

²

(1 + t

²

)

²

v(t) = 4t

(1 + t

²

)

²

Pour préciser une direction de tangente, on calcule u

⁰

et v

⁰

en s'attachant à factoriser.

On obtient

−

→ g

⁰

(t) = u

⁰

(t) − →

i + v

⁰

(t) − →

j = − 4 (1 + t

²

)

³

(−t

³

+ 3t) − →

i + (3t

²

− 1) − → j

On en déduit que la direction de la tangente au point de paramètre √

3 est − → j car le

−t

³

+ 3t (coecient de − →

i ) s'annule.

3. D'après le calcul précédent, l'équation de la tangente (notée T

τ

) en M = g(τ) est :

x − 2(1 − τ

²

)

(1 + τ

²

)

²

−τ

³

+ 3τ y − 4τ

(1 + τ

²

)

²

−1 + 3τ

²

= 0

ce qui s'écrit encore

(3τ

²

− 1)x + (τ

³

− 3τ )y + 1

(1 + τ

²

)

²

2(1 − τ

²

)(1 − 3τ

²

) − 4τ(τ

³

− 3τ

²

)

= 0

En fait, la dernière parenthèse se réduit à 2(1 + τ

²

)

²

ce qui conduit à l'équation de la tangente annoncée :

(τ

³

− 3τ)y + (3τ

²

− 1)x + 2 = 0

4. Formons l'équation d'inconnue t caractérisant que g(t) ∈ Γ . Après multiplication par (1 + t

²

)

²

6= 0 elle s'écrit :

(τ

³

− 3τ)4t + 2(3τ

²

− 1)(1 − t

²

) + 2(1 + t

²

)

²

= 0 Cette équation est de degré 4 et l'énoncé

¹

nous indique qu'elle s'écrit

T

²

T

²

+ 4τ T + 3(τ

²

+ 1)

lorsque t = τ + T . Cela montre que τ est racine (double) de cette équation et que T

_t

recoupe Γ aux points g(t) pour t = τ + u avec u racine de

T

²

+ 4τ T + 3(τ

²

+ 1) d'inconnue T . Le discriminant de cette équation est

16τ

²

− 12(τ

²

+ 1) = 4(τ

²

− 3)

Ceci montre que T

t

recoupe Γ en deux points si et seulement si τ

²

> 3 . Lorsque cette condition est réalisée, l'équation admet deux solutions u

1

et u

2

vériant :

( u

₁

+ u

₂

= −4τ u

1

u

2

= 3(τ

²

+ 1)

(relation entre coecients et racines dans une équation du second degré)

La tangente T

t

recoupe Γ en deux points g(t

1

) et g(t

2

) avec t

1

= τ + u

1

et t

2

= τ + u

2

. On en déduit :

t

1

t

2

= τ

²

+ τ(u

1

+ u

2

) = u

1

u

2

= 3 t

₁

+ t

₂

= 2τ − 4τ = −2τ

1voir à la n du coorigé

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M0805C

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5. a. En utilisant les relations précédentes, on obtient après calculs :

t

³₁

− 3t

₁

3t

²₁

− 1 t

³₂

− 3t

₂

3t

²₂

− 1

= (60 − 4τ

²

)(t

1

− t

2

)

b. Le système d'équation régissant l'intersection des tangentes T

t₁

et T

t₂

est : ( (3t

1

− 1)x + (t

³₁

− 3t

1

)y = −2

(3t

₂

− 1)x + (t

³₂

− 3t

₂

)y = −2

Le déterminant a été calculé en a. Les formules de Cramer conduisent à : x =

−2 t

³₁

− 3t

₁

−2 t

³₂

− 3t

₂

(60 − 4τ

²

)(t

1

− t

2

) = 2τ

²

− 3 τ

²

− 15

y =

3t

²₁

− 1 −2 3t

²₂

− 1 −2

(60 − 4τ

²

)(t

₁

− t

₂

) = 3τ τ

²

− 15

6. Lorsque la tangente en M = g(τ ) recoupe Γ en deux autres points, les tangentes en ces points se coupent en N

τ

dont les coordonnées sont :

x

_τ

= 2τ

²

− 3

τ

²

− 15 y

_τ

= 3τ

τ

²

− 15

La première relation permet d'exprimer τ

²

puis τ

²

− 15 en fonction de x

_τ

:

τ

²

= −3 + 15x

x

τ

− 2 τ

²

− 15 = 27

x

τ

− 2

La deuxième relation permet alors d'exprimer τ en fonction de x

τ

et de y

τ

:

τ = 9y

_τ

x

τ

− 2

En remplaçant dans la relation exprimant τ

²

en fonction de x

τ

, on obtient l'équation d'une courbe qui contient tous les points N

_τ

.

9y

_τ

x

τ

− 2

2

= 3(5x

_τ

− 1)

x

τ

− 2 ⇔ 5x

²_τ

− 27y

_τ²

− 11x

_τ

+ 2 = 0

K3 K2 K1 0 1

K2 K1 1 2

Fig. 1: Question 7.

7. Pour mettre l'équation précédente sous la forme d'une équation réduite de conique, on considère les termes en x et x

²

comme le début d'un carré comme dans la méthode de factorisation canonique. On obtient une hyperbole d'équation réduite

x − 11

10

²

9 10

2

− y

²

√ 3

2 √ 5

!

2

= 1

d'axe focal Ox , de centre le point de coordonnées (

¹¹₁₀

, 0)

2

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Annexe

Les lignes de code suivantes permettent de réaliser avec Maple la substitution utilisée en question 4.

A:=(3tau^2-1)(1-t^2)+(tau^3-3tau)2*t+(1+t^2)^2;

expand(subs(t=T+tau,A));

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