MPSI B 2009-2010 Corrigé du DM 5 29 juin 2019 B
B0
A
∆0
∆
M M0
O
Fig. 1: Construction deM M0
1. Voir la gure Construction deM M0.
2. On forme les équations des droites(AB),(AB0)et leur pente :
(AB) : x
a+y
b = 1 pente :b
a
(AB0) : x
a+ y
b0 = 1 pente :b0 a
Les points M et M0 existent lorsque ∆ n'est pas parallèle à (AB) et ∆0 n'est pas parallèle à(AB0)c'est à dire pour
m6∈
b
a,−b0 a
Pour calculer les coordonnées deM, on substituemxày dans l'équation de(AB), on
résout l'équation d'inconnue xainsi formée, puis on multiplie par m pour obtenir la deuxième coordonnée. On obtient
M :
ab
b+ma, mab b+ma
Les coordonnées de M0 se déduisent de celles deM en remplaçant b parb0 et mpar
−m. On obtient :
M0 :
ab0
b0−ma, −mab0 b0−ma
Pour former l'équation de(M M0)on commence par calculer et simplier les coordon- nées de−−−→
M M0. Il vient
−−−→M M0: am (b+ma)(b0−ma)
(b+b0)a
−2bb0−am(b0−b)
L'équation de(M M0)s'obtient en écrivant qu'un pointZ de coordonnées(x, y)est sur (M M0)si et seulement si :
det(−−→
M Z,−−−→
M M0) = 0
En réduisant les éléments de la première colonne au même dénominateur et en utilisant la bilinéarité du déterminant, on obtient le résultat annoncé.
3. a. Considérons une droite ∆ particulière à savoir l'axe (Oy). Dans ce cas M = B et M0 =B0 doncP est forcément sur(Oy). Notons(0, p)les coordonnées de P et écrivons (avec 2.) queP est sur (M M0)obtenue lorsque ∆ = (Ox)de pente m= 0. On obtient
2ab2b0−bpa(b+b0) = 0 2a−p(1
b + 1 b0) = 0
2 p= 1
b + 1 b0
b. Le raisonnement précédent montre l'unicité du point d'intersection des droites (M M0). Pour achever la démonstration on doit montrer que le déterminant de la question 2. est nul pour tous les m lorsque x= 0 et y =p= b+b2bb00. En eet une simplication se produit après une factorisation parb+am.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0905C
MPSI B 2009-2010 Corrigé du DM 5 29 juin 2019 c. Les points O, B, B0 sont sur l'axe (Oy), les vecteurs −−→
OB et −−→
OB0 sont donc colinéaires. De plus :
−−→
OB=λ−−→
OB0 avecλ= b b0
−−→
P B= (b−p)−→
j =λ(b0−pb0 b )−→
j
Or, d'après 3.a.
2 p= 1
b + 1
b0 ⇒2 = p b + p
b0 ⇒2b0= pb0
b +p⇒b0−pb0
b =p−b0
d'où −−→
P B=λ(p−b0)−→
j =−λ−−→
P B0
4. a. La droite(AB0)parallèle à la deuxième bissectrice se traduit par a=b0
Le caractère xe du pointP se traduit par b= pb0
2b0−p
b. On calcule les cordonnées du milieuI deAB0 puis l'équation de(BI). On déve- loppe ensuite en remplaçantaet b. Après simplications, on obtient :
I:
a
2,b0 2
= b0
2,b0 2
(BI) :
x b20 y−b b20 −b= 0
= 0 (BI) :b0(2x−2y+p) + (3px+py) = 0
Sur la dernière forme, on voit clairement que les droites(M I)passent toutes par le point dont les coordonées(x, y)vérient
2x−2y = −p
−3x+y = 0 On en déduit l'existence et les coordonnées du pointQ:
Q:
p
8,3p 8
B
B0
O A
Fig. 2: Tracé de plusieurs droites∆etM M0
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2 Rémy Nicolai M0905C
MPSI B 2009-2010 Corrigé du DM 5 29 juin 2019
P Q
O
Fig. 3: Tracé de plusieurs droites (p= 2)(B, milieu deAB0)
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3 Rémy Nicolai M0905C
