MPSI B 2009-2010 DM 6 29 juin 2019

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Exercice

Un repère (O, − → i , − →

j , − →

k ) d'un espace étant xé, on dénit les points suivants par leurs coordonnées

A : (0, 0, 0), B : (0, 1, 0), C : (0, 0, 1) A

: (a, 0, 0), B

: (b, 1, 0), C

: (c, 0, 1)

avec abc 6= 0 . On pose de plus

s = 1 a + 1

b + 1 c

et on suppose s 6= 0 . Il n'est pas nécessaire de faire une gure.

1. Montrer que les trois plans (A

BC) , (AB

C) , (ABC

) ont un point commun S dont on déterminera les coordonnées.

2. Montrer que les trois plans (AB

C

) , (A

BC

) , (A

B

C) ont un point commun S

dont on déterminera les coordonnées. Montrer que les droites (SS

) et (AA

) sont parallèles.

3. Soit T le point d'intersection de la droite (SS

) avec le plan (ABC) et T

le point d'intersection de la droite (SS

) avec le plan (A

B

C

) . Vérier que

−→ T S = −−→

SS

= −−→

S

T

Problème

L'objet du problème

est la recherche de lieux géométriques conduisant à l'étude de courbes planes (appelées en général cubiques circulaires). Les parties I et II donnent deux exemples de telles courbes. Dans la troisième partie, on considère le cas général.

Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé d'origine notée O , d'axes Ox et Oy et on désigne par a un nombre réel strictement positif donné.

PARTIE I. Étude de la strophoïde droite

On désigne par D la droite d'équation x = 2a et par C le cercle de centre M

de coordonnées (−2a, 0) , de rayon 2a .

Pour tout nombre réel θ , on désignera par :

H (θ) le point d'intersection, lorsqu'il existe, de la droite (notée D

) d'angle polaire θ et de la droite D .

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d'après Ecole de l'Air MP 2002

D

D C

M

I(θ)

H (θ)

M(θ)

Fig. 1: Dénition de la strophoïde droite

M (θ) le point d'intersection de la droite d'angle polaire θ et du cercle C (avec la conven- tion que lorsqu'il y a deux points d'intersection, M (θ) désigne le point d'intersection distinct de O ).

1. Donner une équation cartésienne, puis une équation polaire du cercle C .

2. Déterminer des coordonnées polaires de M (θ) et H(θ) , puis du milieu I(θ) du segment [M (θ)H (θ)] .

En déduire, lorsque θ varie, que I(θ) décrit la courbe d'équation polaire : r(θ) = −a cos (2θ)

cos (θ) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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3. Exprimer r(θ + 2π) , r(π + θ) , r(−θ) en fonction de r(θ) . Interpréter géométriquement ces résultats et indiquer sur quelle partie E de R il sut d'étudier la courbe.

4. Déterminer la limite de r(θ) sin (θ − π/2) lorsque θ tend vers π/2 . Qu'en déduit-on géométriquement ?

5. Étudier le signe de r(θ) pour θ ∈ E , représenter sur une même gure la droite D , le cercle C , et le support de cette courbe θ 7→ I(θ) .

6. Donner enn une équation cartésienne du support de la courbe θ 7→ I(θ) .

PARTIE II. Étude de la cissoïde droite

C

Dt D

M₀

H(t)

J(t)

M(t)

Fig. 2: Dénition de la cissoïde droite

On désigne par D la droite d'équation x = 2a et par C le cercle de centre M

(−a, 0) , de rayon a .

Pour tout nombre réel t , on désignera par :

H(t) le point d'intersection de la droite (notée D

) d'équation y = tx et de la droite D .

M (t) le point d'intersection de la droite d'équation y = tx et du cercle C (avec la convention que lorsqu'il y a deux points d'intersection, M (t) désigne le point d'inter- section distinct de O ).

1. Donner une équation cartésienne du cercle C .

2. Déterminer les coordonnées de M (t) et H (t) , puis du milieu J(t) du segment [M (t)H (t)] .

3. Déterminer le vecteur-dérivé à la courbe t 7→ J(t) , puis en déduire le(s) point(s) sta- tionnaire(s) (c'est-à-dire non régulier(s)) de celle-ci. Etudier la tangente au(x) point(s) stationnaire(s).

En déduire que la tangente à la courbe t 7→ J (t) au point J(t

) a pour équation t

(t

+ 3)x − 2y = at

4. Etudier les variations des coordonnées x(t) , y(t) du point J(t) pour t ∈ R

, et re- présenter sur une même gure la droite D , le cercle C , et le support de cette courbe t 7→ J (t) .

5. Donner enn une équation cartésienne du support de la courbe t 7→ J (t) .

PARTIE III. Étude générale des cubiques circulaires

On considère un point M

(x

, y

) distinct de O et on désigne alors par D la droite d'équation x = 2a et par C(x

, y

) le cercle de centre M

(x

, y

) passant par O .

Pour tout nombre réel t , on désignera par :

H(t) le point d'intersection de la droite (notée D

) d'équation y = tx et de la droite D .

M (t) le point d'intersection de la droite d'équation y = tx et du cercle C(x

, y

) (avec la convention que lorsqu'il y a deux points d'intersection, M (t) désigne le point d'intersection distinct de O ).

1. Déterminer les coordonnées de M (t) et H (t) , puis du milieu K(t) du segment [M (t)H (t)] .

2. Étudier les branches innies de la courbe t 7→ K(t) .

3. À quelle condition sur M

(x

, y

) l'origine O appartient-elle au support de la courbe paramétrée t 7→ K(t) ?

Représenter graphiquement la zone du plan correspondante.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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4. À quelle condition sur M

(x

, y

) la courbe a-t-elle un point double ?

Quel est alors ce point double ? Représenter graphiquement la zone du plan correspon- dante.

5. À quelle condition sur M

(x

, y

) la courbe a-t-elle un point stationnaire (c'est à dire non régulier) ?

Quel est alors ce point stationnaire ? Représenter graphiquement la zone du plan cor- respondante.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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