MPSI B DM 12 29 juin 2019
Pour tout entier naturel k , on désigne par R k [X] l'ensembles des polynômes à coecients réels et de degré inférieur ou égal à k . On considère un entier naturel n ≥ 1 xé et on note D l'application dérivation polynomiale de R n+1 [X ] dans R n [X ] .
Partie I
1. Quel est le noyau de D ?
2. Soit H un supplémentaire de ker D dans R n+1 [X] , montrer que la restriction de D à H est un isomorphisme entre H et R n [X] . (On demande la démonstration du lemme de cours). On note D a cette application.
3. Soit a ∈ R et
H a = {(X − a)Q, Q ∈ R n [X]}.
Montrer que H a est un supplémentaire de ker D dans R n+1 [X ] . 4. a. Montrer que
U = ((X − a), (X − a)X, · · · , (X − a)X n ) est une base de H a .
b. Soit B = (1, X, · · · , X n ) . Former la matrice Mat U B D a .
Partie II
Pour un réel a xé, on dénit une application f a de R n [X ] dans R n [X]
P → D((X − a)P )
1. Montrer que f a est un automorphisme. On note g a sa bijection réciproque.
2. Montrer que pour tout k entre 0 et n , R k [X] est stable par g a . 3. Former la matrice de f a dans la base B = (1, X, · · · , X n ) . 4. Pour tout k entre 0 et n , on note P k = f a (X k )
a. Exprimer les X k en fonction des P k . b. Former la matrice de g a dans la base B .
Partie III
Pour tout réel b , on pose
B b = (1, (X − b), · · · , (X − b) n )
1. Montrer que B b est une base de R n [X ] . Quelles sont les coordonnées d'un polynôme P dans cette base ?
2. Former les matrices de passages P BBb et P BbB 3. Former les matrice de f a et g a dans B a .
B 3. Former les matrice de f a et g a dans B a .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
