MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Dans tout cet exercice, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On considère la suite des nombres impairs que l'on somme par groupes de 1, 2, 3, · · · 1
|{z}
=s1
, 3, 5
|{z}
=s2, 7, 9, 11
| {z }
=s3
, 13, 15, 17, 19
| {z }
=s4
, · · ·
On dénit ainsi des nombres s
navec n entier naturel non nul. Les premières valeurs sont s
1= 1, s
2= 3 + 5, s
3= 7 + 9 + 11, s
4= 13 + 15 + 17 + 19, · · ·
1. Combien de termes (nombres impairs) la somme s
1+ s
2+ · · · + s
n−1contient-elle ? Quel est le plus grand terme de cette somme ?
2. Quel est le plus petit terme de la somme s
n? (On le notera t
n) En déduire une expres- sion de s
navec le symbole P .
3. Former une expression très simple de s
n. (Théorème de Nicomachus)
4. Préciser la somme des entiers de 1 à n(n + 1) et celle des entiers pairs entre 1 et n(n + 1) . En déduire, en utilisant le théorème de Nicomachus,
1
3+ 2
3+ · · · + n
3=
n(n + 1) 2
2Corrigé
1. La somme s
1+ · · · + s
n−1contient
1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n − 1)n
2 termes.
On paramètre les impairs successifs 1, 3, 5, · · · sous la forme 2k − 1 avec k prenant les valeurs 1, 2, 3, · · · . Le plus grand terme de la somme s
1+ s
2+ · · · + s
n−1est donc
2 (n − 1)n
2 − 1 = (n − 1)n − 1
On remarque que ce nombre est bien impair car n(n − 1) est pair (parmi deux nombres consécutifs, un est pair).
2. Le plus petit terme de s
nest le nombre impair qui suit le plus grand des sommes précédentes, c'est donc
(n − 1)n + 1
Comme s
nest formée par les n nombres impairs qui suivent, on obtient
s
n=
n
X
k=1
((n − 1)n + 2k − 1)
3. Le calcul de s
nn'est pas dicile
s
n=
n
X
k=1
(n
2− n − 1) + 2k
= n(n
2− n − 1) + 2 n(n + 1) 2 = n
3Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Nicomachus.
4. La somme de tous les entiers entre 1 et n(n + 1) est n(n + 1) (n(n + 1) + 1)
2
La somme étendue seulement aux entiers pairs est égale à 2 fois celle de tous les entiers entre 1 et
n(n+1)2. Elle est donc égale à
2
n(n+1)
2
(
n(n+1)2+ 1)
2 = 1
2 n(n + 1)
n(n + 1)
2 + 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Asomm6MPSI B 29 juin 2019
D'après la question 1, le plus grand terme de s
nest n(n + 1) − 1 . Le théorème de Nicomachus montre alors que
1
3+ 2
3+ · · · + n
3= somme des entiers impairs entre 1 et n(n + 1) − 1
= ( somme de tous les entiers entre 1 et n(n + 1))
− ( somme des entiers pairs entre 1 et n(n + 1))
= n(n + 1) (n(n + 1) + 1)
2 − n(n + 1)
2
n(n + 1)
2 + 1
= n(n + 1) 2
n(n + 1) + 1 − n(n + 1)
2 − 1
=
n(n + 1) 2
2Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
