MPSI B 29 juin 2019

MPSI B 29 juin 2019

M P

P

P

P

P

P

Fig. 1: Ensemble X dans un plan.

Énoncé

Dans une espace de dimension 3, on considère un ensemble X = {P 1 , P 2 , · · · , P n } de n ≥ 3 points xés distincts et non alignés.

Pour tout point M de l'espace, on pose d(M ) =

n

X

i=1

k −−→

M P _i k

et lorsque M n'est pas dans X

−

→ V (M ) =

n

X

i=1

1 k −−→

M P i k

−−→ M P i

lorsque M n'est pas dans X et − → v est un vecteur quelconque, on pose q _M ( − → v ) =

n

X

i=1

k− → v k ² k −−→

M P _i k −

n

X

i=1

( −−→

M P i / − → v ) ² k −−→

M P _i k ³

On dira que d est minimale en un point A lorsque d(A) ≤ d(M ) pour tous les points M de l'espace.

1. Montrer que

q M ( − → v ) =

n

X

i=1

k −−→

M P _i ∧ − → v k ² k −−→

M P i k ³ 2. Étant donné trois points M , N et P , montrer l'inégalité

k −−→

N P k − k −−→

M P k ≤ ( −−→

N M / −−→

N P ) k −−→

N P k 3. Montrer que s'il existe un point N tel que − →

V (N ) = − →

0 alors d est minimale au point N .

4. S'il existe un entier k entre 1 et n tel que

X

i∈{1,···n}−{k}

1 k −−→

P _k P _i k

−−→ P _k P _i

≤ 1

montrer que d est minimale au point P k .

5. Si N est le milieu d'un segment [M 0 , M 1 ] , établir l'inégalité 2d(N ) ≤ d(M ₀ ) + d(M ₁ )

En déduire l'unicité du point où d est minimale lorsqu'un tel point existe.

6. Trouver les points où d est minimale dans les cas suivants

a. n = 3 et X est formé par les trois sommets d'un triangle équilatéral.

b. n = 3 et X est formé par les trois sommets d'un triangle dont l'un des angles est compris entre ^2π ₃ et π .

c. n = 8 et X est formé par les huit sommets d'un cube.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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MPSI B 29 juin 2019

d. n = 4 et X = {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } où les points P i sont dénis par leurs coordonnées dans un repère orthonormé

P ₁ : (0, 0, 0), P ₂ : (1, 0, 0), P ₃ : (0, 1, 0), P ₄ : (x, y, z) où x , y , z vérient

x ² + y ² + z ² = 1 x + y ≤ −1 (On pourra calculer k −−−→

P 1 P 2 + −−−→

P 1 P 3 + −−−→

P 1 P 4 k )

7. On xe un point M et un vecteur − → u et on pose pour tout t réel M t = M + t − → u , f (t) = d(M t ) Montrer que

f ⁰ (t) = −( − → u / − →

V (M t )), f ⁰⁰ (t) = q M

( − → u )

Que peut-on en déduire lorsque d est minimale en un point M qui n'est pas dans X ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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