MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Montrer que, pour tout naturel n ≥ 2 ,
√ 1
1 × 2 + 1
√ 2 × 3 + · · · + 1
p n × (n + 1) ≤ n
√ n + 1 En déduire
1 2 + 1
3 + · · · 1 n + 1 ≤ √
n
Corrigé
Notons S la somme à majorer (elle contient n termes) et utilisons l'inégalité de Cauchy- Schwarz puis une sommation en dominos :
S = 1 × 1
√ 1 × 2 + 1 × 1
√ 2 × 3 + · · · + 1 × 1 p n × (n + 1)
≤ √
1 + 1 + · · · + 1 s 1
1 × 2 + 1
2 × 3 + · · · + 1 n × (n + 1)
≤ √ n
s 1 − 1
2
+ 1
2 − 1 3
+ · · · + 1
n − 1
(n + 1)
≤ √ n
r 1 − 1
n + 1 = n
√ n + 1
Comme 1 < 2, 2 < 3, · · · , n < n + 1 : S > 1
√
2
2+ 1
√
3
2+ · · · + 1
p (n + 1)
2= 1 2 + 1
3 + · · · + 1 n + 1 D'autre part : √
n + 1 > √
n donc
√n+1n< √
n . On en déduit :
1 2 + 1
3 + · · · + 1
n + 1 < S < n
√ n + 1 < √ n
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
