MPSI B DM 15 29 juin 2019 Soit β ∈ R

MPSI B DM 15 29 juin 2019

Soit β ∈ R

et n ∈ N

, on dénit la puissance factorielle montante

par : β

= 1, β

= β(β + 1) · · · (β + n − 1) (produit de n facteurs) 1. a. Simplier β

− (β + k)β

.

b. Soit j ≥ i , exprimer

comme une puissance factorielle montante.

2. Soient m ∈ N et p ∈ N

, on dénit :

∆(m, p, β) = la matrice p × p dont le terme k, l est β

P (m, p, β) = la matrice p × p dont le terme k, l est β

δ(m, p, β) = det(∆(m, p, β))

a. Calculer δ(m, 1, β) et δ(1, 3, 1) .

b. On note L

, · · · , L

les lignes de la matrice ∆(m, p, β) .

Pour k entre 1 et p − 1 , quel est le réel λ pour lequel le premier terme de la ligne L

− λL

est nul ? Préciser le reste de cette ligne.

c. Former une relation entre δ(m, p, β) et δ(m+1, p−1, β) . En déduire une expression de δ(m, p, β) avec des factorielles et des puissances factorielles montantes.

d. Calculer det(P (m, p, β)) .

3. Soient p ∈ N

et β

, · · · β

des réels deux à deux distincts, on dénit : V (β

, · · · , β

) = la matrice p × p dont le terme k, l est β

v(β

, · · · , β

) = det(V (β

, · · · , β

))

Calculer v(β

, · · · , β

) .

1d'après Mathématiques concrètes Graham, Knuth, Patashnik

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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