MPSI B 2008-2009 Énoncé du DM 14 29 juin 2019
Étant donné un entier n strictement positif, on dénit les nombres réels I
net S
npar les formules suivantes
1:
S
n=
n−1
X
i=0
n−1
X
j=0
1 i + j + 1
, I
n= Z
n0
Z
n 0dy x + y + 1
dx
1. Donner une primitive de la fonction x → ln x puis de x → ln(x + K) où K est un réel xé.
2. Calculer I
n3. Déterminer les constantes A , B , C , D gurant dans le développement de la suite (I
n)
n∈NI
n= An + B ln n + C + D n + o( 1
n ) 4. a. Montrer que :
∀(i, j) ∈ {0, · · · , n − 1}
2: Z
i+1i
Z
j+1 jdy x + y + 1
dx ≤ 1 i + j + 1 b. Montrer que :
∀(i, j) ∈ {1, · · · , n}
2: 1 i + j + 1 ≤
Z
i i−1Z
j j−1dy x + y + 1
dx
c. En déduire
I
n≤ S
n≤ I
n−1+ 2
n
X
k=1
1 k 5. Montrer que la suite (S
n)
n∈Nest équivalente à l'inni à 2n ln 2 . 6. Soit J
nl'intégrale suivante :
J
n= Z
10 n−1
X
k=0
x
k!
2dx
Établir une relation liant J
net S
n. En déduire un équivalent de J
nà l'inni.
1d'après Mines-Ponts 2003 MP1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)