MPSI B Année 2008-2009 : DM 21 29 juin 2019

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x y

M (L)

M (0)

L

A

Fig. 1: Inégalité isopérimétrique A ≤ L

4π Question préliminaire

Soit ψ une fonction continue, 2π -périodique sur R et à valeurs réelles.

Montrer que, pour tous les réels a , les intégrales Z

a

ψ(t)dt sont égales.

On dénit le nombre valeur moyenne de ψ (noté ψ ) par :

ψ = 1 2π

Z

a

ψ(t)dt pour un a quelconque.

L'objet de ce problème est de démontrer l'inégalité de Wirtinger.

Z

0

(f (t) − f )

dt ≤ Z

0

f

(t)dt pour certaines fonctions f ∈ C

( R ) et 2π -périodique.

L'inégalité de Wirtinger permet de démontrer l'inégalité isopérimétrique.

Partie I.

Soit f une fonction de classe C

( R ) à valeurs réelles. Soit a et b deux réels tels que a < b ≤ a + π f (a) = f (b) = 0

Soit ϕ la fonction dénie dans ]a, b[ par :

∀t ∈]a, b[: ϕ(t) = f (t) cotan(t − a)

1. Montrer que l'on peut toujours prolonger ϕ par continuité en une fonction dénie dans [a, b] . Préciser, suivant les cas, les valeurs de ϕ(a) et ϕ(b) .

Dans toute la suite, ϕ désignera la fonction continue prolongée dans [a, b] . Il est clair que ϕ est dérivable et à dérivée continue dans l'ouvert. En revanche, la question de la dérivabilité en a et b n'est pas abordée.

2. Soit u et v deux réels tels que a < u < v < b .

Montrer que l'accroissement de f ϕ entre u et v est égal à Z

u

f

(t)dt − Z

u

f

(t)dt − Z

u

(ϕ(t) − f

(t))

dt

La relation

0 = Z

a

f

(t)dt − Z

a

f

(t)dt − Z

a

(ϕ(t) − f

(t))

dt est-elle valide ?

3. Montrer que

Z

a

f

(t)dt ≤ Z

a

f

(t)dt 4. On suppose que l'inégalité du 3. est une égalité.

a. Montrer que f

(t) = ϕ(t) pour tous les t ∈ [a, b] .

b. Montrer qu'il existe un réel λ tel que f (t) = λ sin(t −a) pour tous les t dans [a, b] .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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Partie II.

1. Soit f une fonction de classe C

( R ) telle que la distance entre deux zéros consécutifs de f soit inférieure ou égale à π . Montrer que

Z

a

f

(t)dt ≤ Z

a

f

(t)dt

lorsque a et b sont deux zéros de f vériant a < b .

2. Soit f une fonction de classe C

( R ) . Pour tout λ > 0 , on dénit f

par :

∀t ∈ R : f

(t) = f ( t λ ) a. Exprimer R

λa

f

(t)dt et R

f

(t)dt en fonction de R

a

f

(t)dt et R

a

f

(t)dt . b. Montrer que la proposition suivante est fausse.

Pour toute fonction f de classe C

( R ) prenant la valeur 0 en a et b , on a : Z

a

f

(t)dt ≤ Z

a

f

(t)dt

Partie III.

Soit n un entier naturel non nul xé. On dénit dans R les fonctions c

, c

, · · · , c

et s

, · · · , s

par :

c

(t) = 1, c

(t) = cos(t), · · · c

(t) = cos(nt) s

(t) = sin(t), · · · s

(t) = sin(nt) 1. Pour i ∈ {0, · · · , n} et j ∈ {1, · · · , n} , calculer R

0

c

(t)c

(t)dt , R

0

c

(t)s

(t)dt , R

0

s

(t)s

(t)dt en séparant bien les divers cas.

2. Soit T = Vect(c

, · · · , c

, s

, · · · , s

) et f ∈ T . Que vaut f ? Démontrer Z

0

(f (t) − f )

dt ≤ Z

0

f

(t)dt

x y

M (0) M (L)

L

A

Fig. 2: Inégalité A ≤ L

2π

Partie IV. Inégalité isopérimétrique

Dans cette partie

, on pourra utiliser (pour tous réels u et w ) uw ≤ 1

2 (u

+ w

)

On pourra aussi utiliser des changements de paramètres très simples.

1. Démontrer l'inégalité indiquée au dessus.

2. Ici M est une courbe paramétrée normale de classe C

([0, L]) à valeurs dans un plan.

La courbe est donc de longueur L . Un repère est xé, les fonctions coordonnées sont notées x et y . On pose U = x ◦ M et V = y ◦ M . Ce sont des fonctions de classe

1d'aprèshttp ://www.math.utah.edu/ treiberg/isoperim/isop.pdf

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C

([0, L]) à valeurs réelles. On suppose (voir Fig. 2) U (0) = U (L) = 0

On note A l'aire dénie par le support de la courbe et l'axe des y . Montrer que A ≤ L

2π Étudier le cas d'égalité.

3. Ici M est une courbe paramétrée normale, dénie dans R, périodique de plus petite période L (voir Fig. 1). La longueur du support est donc L . Les fonctions U et V sont dénies comme au dessus. On désigne par A l'aire de la portion de plan délimité par la courbe. On suppose que l'application

t → U ( L 2π t)

est dans l'espace T dénie en partie III. Montrer l'inégalité isopérimétrique A ≤ L

4π

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