MPSI B Année 2011-2012 Énoncé DM 15 29 juin 2019
Problème
Ce problème porte sur le résultant de deux polynômes
1Partie I - Dénition et propriétés
Soient p et q deux entiers naturels non nuls. Soient
P =
p
X
k=0
a k X k et Q =
q
X
k=0
b k X k
deux polynômes de C [X] avec a p 6= 0 , b q 6= 0 .
Le résultant des polynômes P et Q est le nombre complexe noté Res (P, Q) :
Res (P, Q) =
a 0 b 0
a 1 ... b 1 ...
... a 0 ... b 0
a p a 1 a 0 ... b 1 ... ... a 1 b q ...
a p ... ... ...
a p b q
C'est un déterminant de q + p colonnes, dont les q premières colonnes représentent les coecients du polynôme P et les p suivantes représentent les coecients du polynôme Q : les positions non remplies étant des zéros.
Par exemple, si P = 1 + 2X + 3X 2 et Q = 4 + 5X + 6X 2 + 7X 3 ,
Res (P, Q) =
1 0 0 4 0 2 1 0 5 4 3 2 1 6 5 0 3 2 7 6 0 0 3 0 7
La matrice servant à dénir Res (P, Q) pourra être notée M P,Q : Res (P, Q) = det(M P,Q )
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d'après Concours communs Polytechniques, 2009, MP
On note E = C q−1 [X] × C p−1 [X] et F = C p+q−1 [X] .
Soit u l'application de E vers F dénie pour (A, B) ∈ E par : u(A, B) = P A + QB 1. Cas où u est bijective.
a. Montrer que u est une application linéaire.
b. Montrer que u bijective entraine P et Q premiers entre eux.
c. On suppose P et Q premiers entre eux. Déterminer Ker(u) et en déduire que u est bijective.
2. Matrice de u . On note
B = ((1, 0), (X, 0), . . . , (X q−1 , 0), (0, 1), (0, X), . . . , (0, X p−1 )) une base de E et B
0la base canonique de F
B
0= (1, X, . . . , X p+q−1 ) a. Déterminer la matrice de u dans les bases B et B
0.
b. Démontrer que Res (P, Q) 6= 0 si et seulement si P et Q sont premiers entre eux (donc Res (P, Q) = 0 si et seulement si P et Q ont au moins une racine commune complexe).
3. Racine multiple.
a. Démontrer qu'un polynôme P de C [X] admet une racine multiple dans C si et seulement si Res (P, P
0) = 0 .
b. Application : déterminer une condition nécessaire et susante pour que le poly- nôme X 3 + aX + b admette une racine multiple.
Partie II - Applications
1. Équation de Bezout
Dans cette question, on note P = X 4 + X 3 + 1 et Q = X 3 − X + 1 .
a. Démontrer, en utilisant la première partie, que les polynômes P et Q sont premiers entre eux.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1115EMPSI B Année 2011-2012 Énoncé DM 15 29 juin 2019
b. On cherche un couple (A 0 , B 0 ) de polynômes de C [X] tel que P A 0 + QB 0 = 1.
Expliquer comment on peut trouver un tel couple en utilisant la matrice de u puis donner un couple solution.
c. Déterminer tous les couples (A, B) de polynômes de C [X ] vériant P A + QB = 1.
On pourra commencer par remarquer que, si (A, B) est un couple solution, alors P(A − A 0 ) = Q(B 0 − B) .
2. Nombre algébrique.
En utilisant les polynômes
P = X 2 − 3 et Q y = (y − X) 2 − 7,
déterminer un polynôme à coecients entiers de degré 4 ayant comme racine √ 3 + √
7 . Quelles sont les autres racines de ce polynôme ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)