MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Pour tout entier naturel k , on désigne par R k [X] l'ensembles des polynômes à coecients réels et de degré inférieur ou égal à k . On considère un entier naturel n ≥ 1 xé et on note D l'application dérivation polynomiale de R n+1 [X ] dans R n [X ] .
Partie I
1. Quel est le noyau de D ?
2. Soit H un supplémentaire de ker D dans R n+1 [X] , montrer que la restriction de D à H est un isomorphisme entre H et R n [X] . (On demande la démonstration du lemme de cours). On note D a cette application.
3. Soit a ∈ R et
H a = {(X − a)Q, Q ∈ R n [X]}.
Montrer que H a est un supplémentaire de ker D dans R n+1 [X ] . 4. a. Montrer que
U = ((X − a), (X − a)X, · · · , (X − a)X n ) est une base de H a .
b. Soit B = (1, X, · · · , X n ) . Former la matrice Mat U B D a .
Partie II
Pour un réel a xé, on dénit une application f a de R n [X ] dans R n [X]
P → D((X − a)P )
1. Montrer que f a est un automorphisme. On note g a sa bijection réciproque.
2. Montrer que pour tout k entre 0 et n , R k [X] est stable par g a . 3. Former la matrice de f a dans la base B = (1, X, · · · , X n ) . 4. Pour tout k entre 0 et n , on note P k = f a (X k )
a. Exprimer les X k en fonction des P k . b. Former la matrice de g a dans la base B .
Partie III
Pour tout réel b , on pose
B b = (1, (X − b), · · · , (X − b) n )
1. Montrer que B b est une base de R n [X ] . Quelles sont les coordonnées d'un polynôme P dans cette base ?
2. Former les matrices de passages P BB
bet P B
bB 3. Former les matrice de f a et g a dans B a .
Corrigé
Éléments de corrigé
Partie I
1. Le noyau de D est formé par la droite vectorielle engendrée par le polynome 1 . 2. Voir cours. Démonstration de la formule du rang.
3. L'intersection se réduit au polynome nul car la dérivée d'un polynome de degré non nul n'est pas nulle. Tout polynome P de décompose en
P = ˜ P (a) + (x − a)Q
4. a. Évident
b. Comme D a ((X − a)X i ) = (1 + i)X i − iaX i−1 , on peut former la matrice
Mat U B D a = M =
1 −a 0 · · · 0
0 2 −2a ...
0 3 ...
... ... ... 0
... −na
0 · · · 0 n + 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Aalglin2MPSI B 29 juin 2019
Partie II
1. L'application f a est la composée de deux isomorphismes : la multiplication par X − a de R n [X] vers H a puis l'application D a étudiée dans la partie précédente.
2. Considérer les degrés.
3. Comme f a (X k ) = (1 + k)X k − kaX k−1 , on peut écrire
Mat
B f a = M =
1 −a 0 · · · 0
0 2 −2a ...
0 3 ...
... ... ... 0
... −na
0 · · · 0 n + 1
4. On montre par récurrence que
P k = 1 k + 1
k
X
i=0
a k−i P k−i
On en déduit
Mat B f a −1 = Mat
B g a =
1 a 2 a 3
2· · · n+1 a
n0 1 2 a 3 a n+1
n−10 1 3 ...
... 0 ...
... ... n+1 a
0 0 · · · 0 n+1 1
Partie II
1. Cours Formule de Taylor pour les polynomes.
2. Les matrices de passage s'obtiennent avec les formules du binome
P BB
b=
1 −b (−b) 2 · · · p 0
(−b) p · · · (−b) n
0 1 −2b p 1
(−b) p−1 n(−b) n−1
0 1 ...
... ... p−1 p
(−b) 1 ...
1
...
0 · · · 0 1
P B
bB =
1 b b 2 · · · p 0
b p · · · b n
0 1 2b p 1
b p−1 nb n−1
0 1 ...
... ... p−1 p
b 1 ...
1 ...
0 · · · 0 1
3. Pour former les matrices de f a et g a dans B a , il ne faut surtout pas utiliser de formule de changement de base. Le calcul direct est immédiat :
f a ((X − a) k ) = (k + 1)(X − a) k Les matrices sont donc diagonales :
Mat
B
af a =
1 0 · · · 0 0 2
... ... 0
0 0 n + 1
Mat B
ag a =
1 0 · · · 0 0 1 2
... ... 0
0 0 n+1 1
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