Pour tout entier naturel n non nul, on dénit une fonction ϕ n dans R par :

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Pour tout entier naturel n non nul, on dénit une fonction ϕ n dans R par :

∀t ∈ R : ϕ n (t) =



 



 

 3n

4 (1 − n ² t ² ) si t ∈

− 1 n , 1

n

0 si t 6∈

− 1 n , 1

n

Soit f une fonction continue (mais non nécessairement dérivable) de R dans R. Pour tout entier naturel n non nul, on dénit f n par :

∀x ∈ R : f _n (x) = Z

_n¹

−

_n¹

ϕ _n (t)f (x + t)dt 1. a. Tracer l'allure du graphe d'une fonction ϕ _n .

Préciser la "régularité" de ϕ _n . (Où est-elle continue, dérivable ? Où la dérivée est elle continue, dérivable ? ... ).

b. Calculer

Z

_n¹

−

¹_n

ϕ n (t)dt

2. a. En utilisant un changement de variable et diverses primitives, former une expres- sion de f _n (x) permettant de montrer que f _n est dérivable dans R.

b. Pour tout x réel, montrer que

f _n ⁰ (x) = 3n ³ 2

Z

_n¹

−

_n¹

tf(x + t)dt

3. Pour tout réel x et tout entier naturel non nul n , on pose I n (x) =

x − 1

n , x + 1 n

M n (x) = max

u∈I

n

(x) |f(u) − f (x)|

a. Montrer que

|f n (x) − f (x)| ≤ M n (x)

b. Soit J un segment (intervalle de la forme [a, b] ) de R. Pour tout naturel non nul n , on note

K _n (J) = max

x∈J |f _n (x) − f (x)|

Montrer que (K _n (J )) _n∈N

∗

converge vers 0 .

c. Soit x un réel xé. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la suite

(f _n (x)) _n∈

N

^∗

4. Soit x un nombre réel en lequel la fonction f est dérivable. On dénit une fonction R x

par :

∀t ∈ R : f (x + t) = f (x) + tf ⁰ (x) + tR x (t)

a. Pour tout n naturel non nul, exprimer f _n ⁰ (x) en fonction de f ⁰ (x) et de

Z

_n¹

−

_n¹

t ² R _x (t)dt

b. Montrer que (f _n ⁰ (x)) _n∈

N

^∗

converge vers f ⁰ (x) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aconv1

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. a. Le graphe de ϕ _n est une parabole tronquée. La fonction est continue dans R. Elle est C ^∞ dans chaque intervalle mais elle n'est pas dérivable en − _n ¹ et _n ¹ car les taux d'accroissement ont des limites diérentes à droite et à gauche.

K0,4 K0,2 0 0,2 0,4

1 2 3

Fig. 1: graphe de ϕ _n pour n = 4

b. Le calcul de l'intégrale ne présente pas de dicultés.

Z

_n¹

−

_n¹

ϕ _n (t) dt = 3n 4

2 n − n ² 2

3n ³

= 1

2. a. En faisant le changement de variable u = x + t dans la dénition de f n (x) , on obtient :

f n (x) = Z x+

_n¹

x−

_n¹

ϕ n (u − x)f (u)du

Développons ϕ n (u − x) et ordonnons suivant les puissances de u avant d'intégrer en utilisant le linéarité

f n (x) = 3n

4 (1 − n ² x ² ) Z x+

_n¹

x−

¹_n

f (u)du + 2n ² x Z x+

_n¹

x−

¹_n

uf(u)du

−n ² Z x+

¹_n

x−

_n¹

u ² f (u)du

!

Les trois intégrales qui gurent dans la parenthèse s'expriment à l'aide de primi- tives de u → f (u) , u → uf(u) , u → u ² f (u) . Cette expression montre donc bien que f _n est C ¹ .

b. L'expression précédente permet le calcul de f _n ⁰ (x) .

f _n ⁰ (x) = 3n

4 −2n ² x Z x+

_n¹

x−

¹_n

f (u)du

+(1 − n ² x ² )

f (x + 1

n ) − f (x − 1 n )

+2n ² Z x+

_n¹

x−

¹_n

uf(u)du

+2n ² x

(x + 1

n )f (x + 1

n ) − (x − 1

n )f (x − 1 n )

−n ²

(x + 1

n ) ² f (x + 1

n ) − (x − 1

n ) ² f (x − 1 n )

Développons et regroupons les termes en f (x + ¹ _n ) et f (x − _n ¹ ) . Ils s'annulent et il ne reste que les intégrales qui se regroupent en

f _n ⁰ (x) = 3n ³ 2

Z x+

¹_n

x−

_n¹

(u − x)f (u)du

2

(3)

MPSI B 29 juin 2019

Le changement de variable t = u − x dans cette dernière intégrale conduit au résultat demandé :

f _n ⁰ (x) = 3n ³ 2

Z

¹_n

−

_n¹

tf(x + t) dt

3. a. Utilisons le calcul de l'intégrale de ϕ _n pour exprimer la diérence comme une intégrale que l'on majore de manière très classique :

|f n (x) − f (x)| =

Z

¹_n

−

_n¹

ϕ n (t)f (x + t) dt − f(x) Z

_n¹

−

¹_n

ϕ n (t) dt

=

Z

_n¹

−

_n¹

ϕ n (t)(f (x + t) − f (x)) dt

≤ Z

¹_n

−

_n¹

ϕ n (t) |f(x + t) − f(x)| dt

≤ Z

¹_n

−

_n¹

ϕ n (t)M n (x) dt = M n (x) Z

_n¹

−

_n¹

ϕ n (t) dt = M n (x)

On a utilisé le fait que ϕ _n est à valeurs positives dans l'intervalle.

b. Dans cette question, on utilise le théorème de Heine. Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.

Pour tout ε > 0 , il existe un α > 0 tel que , pour tous x et y dans J :

|x − y| < α ⇒ |f (x) − f (y)| < ε

Considérons un entier N > _α ¹ . Alors n ≥ N entraine _n ¹ < α . Pour tout x dans J et n ≥ N , M n (x) < ε donc K n (J) < ε . Ceci entraine que (K n (J )) _n∈

N

^∗

converge vers 0 .

c. Pour tout réel x xé, on peut considérer un segment J qui le contienne (par exemple de longueur 1 et de milieu x ). La question précédente prouve la conver- gence vers 0 de la suite des K n attachée à ce segment.Comme

|f n (x) − f (x)| ≤ K n

On en déduit que (f n (x)) _n∈N

∗

converge vers f (x) .

4. a. Introduisons le développement dénissant R _x dans l'expression de la dérivée trou-

vée en 2.b. Par linéarité, on obtient :

f _n ⁰ (x) = 3n ³ 2 f (x)

Z

_n¹

−

¹_n

t dt

! + 3n ³

2 f ⁰ (x) Z

¹_n

−

_n¹

t ² dt

!

+ 3n ³ 2

Z

_n¹

−

¹_n

t ² R x (t) dt

Si on est particulièrement scrupuleux, on peut se poser la question de la continuité de R x an de justier son intégrabilité. Par dénition même, R x est clairement continue sauf en 0 où elle n'est pas vraiment dénie. On peut prolonger R x par continuité en posant R _x (0) = 0 car le fait que R _x converge vers 0 en 0 est la dénition même de la dérivabilité de f en x .

Les intégrales de t et de t ² valent respectivement 0 et ²ⁿ ₃

²

. On en déduit :

f _n ⁰ (x) = f ⁰ (x) + 3n ³ 2

Z

_n¹

−

_n¹

Pour tout entier naturel n non nul, on dénit une fonction ϕ n dans R par :

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Énoncé

Pour tout entier naturel n non nul, on dénit une fonction ϕ n dans R par :

∀t ∈ R : ϕ n (t) =



 



 

 3n

4 (1 − n 2 t 2 ) si t ∈

− 1 n , 1

n

0 si t 6∈

− 1 n , 1

n

Soit f une fonction continue (mais non nécessairement dérivable) de R dans R. Pour tout entier naturel n non nul, on dénit f n par :

∀x ∈ R : f n (x) = Z

−

ϕ n (t)f (x + t)dt 1. a. Tracer l'allure du graphe d'une fonction ϕ n .

Préciser la "régularité" de ϕ n . (Où est-elle continue, dérivable ? Où la dérivée est elle continue, dérivable ? ... ).

b. Calculer

Z

−

ϕ n (t)dt

2. a. En utilisant un changement de variable et diverses primitives, former une expres- sion de f n (x) permettant de montrer que f n est dérivable dans R.

b. Pour tout x réel, montrer que

f n 0 (x) = 3n 3 2

Z

−

tf(x + t)dt

3. Pour tout réel x et tout entier naturel non nul n , on pose I n (x) =

x − 1

n , x + 1 n

M n (x) = max

u∈I

(x) |f(u) − f (x)|

a. Montrer que

|f n (x) − f (x)| ≤ M n (x)

b. Soit J un segment (intervalle de la forme [a, b] ) de R. Pour tout naturel non nul n , on note

K n (J) = max

x∈J |f n (x) − f (x)|

Montrer que (K n (J )) n∈N

converge vers 0 .

c. Soit x un réel xé. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la suite

(f n (x)) n∈

N

4. Soit x un nombre réel en lequel la fonction f est dérivable. On dénit une fonction R x

par :

∀t ∈ R : f (x + t) = f (x) + tf 0 (x) + tR x (t)

a. Pour tout n naturel non nul, exprimer f n 0 (x) en fonction de f 0 (x) et de

Z

−

t 2 R x (t)dt

b. Montrer que (f n 0 (x)) n∈

N

converge vers f 0 (x) .

1

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. a. Le graphe de ϕ n est une parabole tronquée. La fonction est continue dans R. Elle est C ∞ dans chaque intervalle mais elle n'est pas dérivable en − n 1 et n 1 car les taux d'accroissement ont des limites diérentes à droite et à gauche.

K0,4 K0,2 0 0,2 0,4

1 2 3

Fig. 1: graphe de ϕ n pour n = 4

b. Le calcul de l'intégrale ne présente pas de dicultés.

Z

−

ϕ n (t) dt = 3n 4

2 n − n 2 2

3n 3

= 1

2. a. En faisant le changement de variable u = x + t dans la dénition de f n (x) , on obtient :

f n (x) = Z x+

x−

ϕ n (u − x)f (u)du

Développons ϕ n (u − x) et ordonnons suivant les puissances de u avant d'intégrer en utilisant le linéarité

f n (x) = 3n

4 (1 − n 2 x 2 ) Z x+

x−

f (u)du + 2n 2 x Z x+

4 (1 − n ² t ² ) si t ∈

∀x ∈ R : f _n (x) = Z

ϕ _n (t)f (x + t)dt 1. a. Tracer l'allure du graphe d'une fonction ϕ _n .

Préciser la "régularité" de ϕ _n . (Où est-elle continue, dérivable ? Où la dérivée est elle continue, dérivable ? ... ).

2. a. En utilisant un changement de variable et diverses primitives, former une expres- sion de f _n (x) permettant de montrer que f _n est dérivable dans R.

f _n ⁰ (x) = 3n ³ 2

K _n (J) = max

x∈J |f _n (x) − f (x)|

Montrer que (K _n (J )) _n∈N

(f _n (x)) _n∈

∀t ∈ R : f (x + t) = f (x) + tf ⁰ (x) + tR x (t)

a. Pour tout n naturel non nul, exprimer f _n ⁰ (x) en fonction de f ⁰ (x) et de

t ² R _x (t)dt

b. Montrer que (f _n ⁰ (x)) _n∈

converge vers f ⁰ (x) .

1. a. Le graphe de ϕ _n est une parabole tronquée. La fonction est continue dans R. Elle est C ^∞ dans chaque intervalle mais elle n'est pas dérivable en − _n ¹ et _n ¹ car les taux d'accroissement ont des limites diérentes à droite et à gauche.

Fig. 1: graphe de ϕ _n pour n = 4

ϕ _n (t) dt = 3n 4

2 n − n ² 2

3n ³

4 (1 − n ² x ² ) Z x+

f (u)du + 2n ² x Z x+

−n ² Z x+

u ² f (u)du

Les trois intégrales qui gurent dans la parenthèse s'expriment à l'aide de primi- tives de u → f (u) , u → uf(u) , u → u ² f (u) . Cette expression montre donc bien que f _n est C ¹ .

b. L'expression précédente permet le calcul de f _n ⁰ (x) .

f _n ⁰ (x) = 3n

4 −2n ² x Z x+

+(1 − n ² x ² )

+2n ² Z x+

+2n ² x

−n ²

n ) ² f (x + 1

n ) ² f (x − 1 n )

Développons et regroupons les termes en f (x + ¹ _n ) et f (x − _n ¹ ) . Ils s'annulent et il ne reste que les intégrales qui se regroupent en

f _n ⁰ (x) = 3n ³ 2

f _n ⁰ (x) = 3n ³ 2

3. a. Utilisons le calcul de l'intégrale de ϕ _n pour exprimer la diérence comme une intégrale que l'on majore de manière très classique :

On a utilisé le fait que ϕ _n est à valeurs positives dans l'intervalle.

Considérons un entier N > _α ¹ . Alors n ≥ N entraine _n ¹ < α . Pour tout x dans J et n ≥ N , M n (x) < ε donc K n (J) < ε . Ceci entraine que (K n (J )) _n∈