en posant pour tout réel x non nul u(x) = |x|

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Exercice 1

On dénit des fonctions u , v , w dans R

^∗

en posant pour tout réel x non nul u(x) = |x|

^x

, v(x) = (u(x))

^x

, w(x) = |x|

^u(x)

.

1. Montrer que u , v , w admettent en 0 des limites nies notées respectivement u

0

, v

0

, w

0

à préciser. On prolonge alors les fonctions en posant

u(0) = u

0

, v(0) = v

0

, w(0) = w

0

.

2. Pour chacune de ces trois fonctions a. Étudier le comportement en +∞ . b. Étudier la dérivabilité en 0.

c. Déterminer des développements limités en 1 et en -1 à l'ordre 3 .

Exercice 2

Notons Z [X] l'ensemble des polynômes à coecients dans Z. Dans ce problème, on iden- tie un polynôme à la fonction polynomiale qui lui est associée. On notera donc, pour tout P ∈ R [X] et x ∈ R, le résultat de la substitution dans P de X par x comme P(x) au lieu de P e (x) .

Un réel x est dit algébrique s'il existe un polynôme non nul P ∈ Z [X ] tel que P(x) = 0 . Un réel non algébrique est dit transcendant.

1. Exemples de nombres algébriques.

a. Montrer que tout nombre rationnel est algébrique.

b. Donner un exemple de nombre réel algébrique irrationnel.

2. Théorème de Liouville

Soit d ∈ N

^∗

, soit (a

0

, ..., a

d

) ∈ Z

^d+1

avec a

d

6= 0 et P ∈ Z [X ] déni par : P =

d

X

k=0

a

_k

X

^k

.

Soit x ∈ R une racine de P .

a. Montrer qu'il existe un réel M > 0 tel que :

∀y ∈ [x − 1, x + 1], |P (y)| ≤ M |x − y| .

b. Montrer que pour tout couple (p, q) ∈ Z × N

^∗

tel que P p

q

6= 0 :

d

X

k=0

a

k

p

^k

q

^d−k

≥ 1.

c. Montrer qu'il existe un réel K > 0 tel que :

∀(p, q) ∈ Z × N

^∗

, P p

q

6= 0 = ⇒

x − p q

≥ K q

^d

. 3. Nombres de Liouville

Soit (u

n

)

_n∈N

∈ J 0, 9 K

^N

une suite de nombres naturels inférieurs ou égaux à 9 .

∀n ∈ N , posons x

_n

=

n

X

k=0

u

_k

10

^k!

.

a. Montrer que pour tout k ∈ N : u

k

10

^k!

≤ 9 10

^k

.

b. En déduire que la suite (x

_n

)

_n∈_N

converge. Notons x sa limite.

c. Montrer que pour tout n ∈ N :

|x − x

_n

| ≤ 1 10

^{n n!}

. d. Montrer que x est transcendant.

Exercice 3

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On désigne par C

n−1

[X ] l'ensemble des polynômes à coecients complexes et de degré inférieur ou égal à n − 1 (y compris le polynôme nul).

On s'intéresse aux familles de n+1 nombres complexes deux à deux distincts (z

0

, z

1

, · · · , z

n

) vériant la condition ( C ) :

∀P ∈ C

n−1

[X] , P e (z

₀

) = 1 n

P e (z

₁

) + P e (z

₂

) + · · · + P e (z

_n

)

( C )

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Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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(2)

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Partie I

Soit w = e

^2iπⁿ

. Montrer que (0, w

¹

, · · · , w

ⁿ

) vérie la condition ( C ).

Partie II

Soit (z

₀

, z

₁

, · · · , z

_n

) une famille de nombres complexes deux à deux distincts vériant la condition ( C ). On pose

Φ = Y

k∈J1,nK

(X − z

k

); ∀i ∈ J 1, n K , P

i

= Y

k∈J1,nK\{i}

(X − z

k

).

1. a. Montrer que ∀i ∈ J 1, n K, P e

i

(z

0

) =

_n¹

P e

i

(z

i

) . b. Exprimer Φ

⁰

en fonction des P

i

. Montrer que

∀i ∈ J 1, n K , n Φ(z e

0

) = (z

0

− z

i

)f Φ

⁰

(z

i

).

c. Montrer que

Φ = 1

n (X − z

0

)Φ

⁰

+ Φ(z e

0

) 2. On pose Ψ = Φ − Φ(z e

₀

) .

a. Montrer que z

₀

est une racine de Ψ . Quel est le coecient dominant de Ψ ? (question de cours) Rappeler la dénition de la multiplicité de z

₀

comme racine de Ψ , donner sans démonstration une autre caractérisation de cette multiplicité.

b. En utilisant la formule de Leibniz, former une relation entre Ψ

⁽ⁱ⁾

et Ψ

⁽ⁱ⁺¹⁾

pour i ∈ J 0, n − 1 K.

c. Calculer Ψ g

⁽ⁱ⁾

(z

0

) pour i ∈ J 1, n − 1 K. Que peut-on en déduire pour Φ ?

3. Soit a ∈ C une racine n -ième de −e Φ(z

0

) . Exprimer l'ensemble {z

1

, · · · , z

n

} à l'aide de z

0

, a et U

n

.

Exercice 4

On dénit

¹

des polynômes B

n,k

par :

∀n ∈ N \ {0, 1} , ∀k ∈ J 0, n K , B

n,k

= (X + 1)

^n−k

(X − 1)

^k

.

1d'après ESTP 96 deuxième épreuve. Ces polynômes sont très proches des polynômes de Bernstein.

1. Quel est le degré d'un B

n,k

et son coecent dominant ? Établir

X

ⁿ

= 1 2

ⁿ

n

X

k=0

n k

B

n,k

.

2. Pour n et k xés, les coecients dans B

n,k

de X

⁰

, X

¹

· · · , X

ⁿ

sont notés µ

0

, µ

1

· · · , µ

n

. En substituant

^1+y_1−y

à X , montrer que

X

^k

=

n

X

j=0

λ

j

B

n,j

où les λ

j

sont des nombres réels qui s'expriment très simplement en fonction des µ

_n−j

. 3. Soit P = (X − a)(X − b) un polynôme du second degré de racines a et b . Exprimer en

fonction de a et b les réels γ

0

, γ

1

, γ

2

tels que P =

2

X

j=0

γ

j

B

2,j

4. Soit a

₁

, a

₂

, · · · , a

_n

∈ [−1, 1] et Q = Q

n

k=1

(X − a

_k

) .

Montrer qu'il existe des réels positifs ou nuls δ

₀

, δ

₁

, · · · , δ

_n

tels que Q =

n

X

j=0

δ

_j

B

_n,j

et δ

₀

+ δ

₁

+ · · · + δ

_n

= 1

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