MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Notons Z [X] l'ensemble des polynômes à coecients dans Z. Dans ce problème, on iden- tie un polynôme à la fonction polynomiale qui lui est associée. On notera donc, pour tout P ∈ R [X] et x ∈ R, le résultat de la substitution dans P de X par x comme P(x) au lieu de P e (x) .
Un réel x est dit algébrique s'il existe un polynôme non nul P ∈ Z [X ] tel que P(x) = 0 . Un réel non algébrique est dit transcendant.
1. Exemples de nombres algébriques.
a. Montrer que tout nombre rationnel est algébrique.
b. Donner un exemple de nombre réel algébrique irrationnel.
2. Théorème de Liouville
Soit d ∈ N ∗ , soit (a 0 , ..., a d ) ∈ Z d+1 avec a d 6= 0 et P ∈ Z [X ] déni par : P =
d
X
k=0
a k X k .
Soit x ∈ R une racine de P .
a. Montrer qu'il existe un réel M > 0 tel que :
∀y ∈ [x − 1, x + 1], |P (y)| ≤ M |x − y| . b. Montrer que pour tout couple (p, q) ∈ Z × N ∗ tel que P
p q
6= 0 :
d
X
k=0
a k p k q d−k
≥ 1.
c. Montrer qu'il existe un réel K > 0 tel que :
∀(p, q) ∈ Z × N ∗ , P p
q
6= 0 = ⇒
x − p q
≥ K q d . 3. Nombres de Liouville
Soit (u n ) n∈ N ∈ J 0, 9 K N une suite de nombres naturels inférieurs ou égaux à 9 .
∀n ∈ N , posons x n =
n
X
k=0
u k
10 k! .
a. Montrer que pour tout k ∈ N : u k
10 k! ≤ 9 10 k .
b. En déduire que la suite (x n ) n∈ N converge. Notons x sa limite.
c. Montrer que pour tout n ∈ N :
|x − x n | ≤ 1 10 n n! . d. Montrer que x est transcendant.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai AliouvilMPSI B 29 juin 2019
Corrigé
1. a. Tout nombre rationnel a b avec a ∈ Z et b ∈ Z ∗ est algébrique car il est racine du polynôme du premier degré bX − a ∈ Z [X] .
b. Le nombre réel √
2 est algébrique car racine de X 2 − 2 mais il n'est pas rationnel (cours).
2. a. La fonction associée au polynôme est de classe C ∞ . Sa dérivée est continue donc bornée dans le segment [x−1, x+1] . Il existe donc des M > 0 tels que |P 0 (t)| ≤ M pour tous les t ∈ [x − 1, x + 1] . On peut appliquer l'inégalité des accroissement nis dans cet intervalle entre la racine x et un y quelconque :
|P (y) − P(x)| ≤ M |y − x| ⇒ |P(y)| ≤ M |y − x|
b. L'expression à minorer est le numérateur de la valeur du polynôme après réduction au même dénominateur
0 6= P ( p
q ) = a 0 + a 1 p
q + · · · + a d p d
q d = a 0 q d + a 1 p 1 q d−1 + · · · + a d p d q d
= P d
k=0 a k p k q d−k
q d ⇒
d
X
k=0
a k p k q d−k
| {z }
∈ Z
6= 0 ⇒
d
X
k=0
a k p k q d−k
≥ 1
car p , q et les a i sont entiers.
c. Dans cette question, on s'occupe de rationnels p q qui ne sont pas racines de P . Considérons d'abord ceux qui sont proches de x c'est à dire dans [x − 1, x + 1] et exploitons les questions 2.a et b.
x − p q
≥ 1 M
P( p q )
=
P d
k=0 a k p k q d−k
M q d ≥ 1
M q d
Pour ceux qui sont 1-loin de x , comme q et d sont des entiers naturels non nuls, q d ≥ 1 et
|x − p
q | ≥ 1 ⇒ |x − p q | ≥ 1
q d Pour couvrir les deux cas, on choisit K = min( M 1 , 1) .
3. a. L'inégalité est évidente car, sous les conditions de l'énoncé, u 9
k≤ 1 et 10 k−k! ≤ 1 .
b. Par dénition la suite (x n ) n∈N est croissante. Pour prouver sa convergence, il sut de la majorer en utilisant la question précédente
x n ≤ 9
1 + 1
10 + · · · + 1 10 n
= 9 1 − 10 n+1
1 − 10 −1 ≤ 9
1 − 10 −1 = 10 On note x sa limite.
c. On peut former une inégalité analogue à la précédente mais au delà d'un entier n xé
∀p > n, x p − x n ≤ 9 10 (n+1)!
1 + 1
10 (n+1)!−n! + · · · + 1 10 p!−n!
≤ 9
10 (n+1)!
1 + 1
10 (n+2)!−(n+1)! + · · · + 1 10 p!−(n+1)!
≤ 9
10 (n+1)!
1 + 1
10 + 1
10 2 + · · · + 1 10 p!
≤ 9
10 (n+1)!
10
9 = 1
10 (n+1)!−1 ≤ 1 10 n n!
Pour justier l'inégalité du début de la troisième ligne, il sut de réaliser que la somme considérée est une somme de puissance de 10 1 très lacunaire c'est à dire qu'il manque beaucoup de termes (seuls gurent ces exposants avec des dié- rences compliquées de factorielles). On majore simplement en ajoutant toutes les puissances qui manquent.
d. On peut écrire x n sous la forme x n = p n
q n avec q n = 10 n! et p n ∈ N
S'il existait un polynôme P ∈ Z [X ] tel que P (x) = 0 , il existerait aussi un réel K xé tel que
x − p q
≥ K q d
pour tous les rationnels p q qui en sont pas racines de P . La suite (x n ) n∈
N étant strictement croissante, elle prend une innité de valeurs diérentes. Comme P admet au plus d racines, il existe un rang N tel que x n n'est pas racine de P dès que n ≥ N . On devrait alors avoir
∀n ≥ N, 1
10 n n! ≤ |x − x n | ≥ K q n d = K
10 d n! ⇒ 10 (n−d)n! ≤ 1 K ce qui est absurde car la suite à gauche diverge vers +∞ .
Il ne peut exister de polynôme à coecients entiers dont x soit racine. Tous les nombres obtenus comme limites de ces suites sont transcendants.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
