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1. On considère la fonction polynôme P définie pour tout réel x par : P x ( ) = x

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Academic year: 2022

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(1)

DEVOIR SURVEILLE N° 2 TERMINALE S 3 Vendredi 22 octobre 20004 EXERCICE 1 ( 6 points )

1. On considère la fonction polynôme P définie pour tout réel x par : P x ( ) = x

3

− 3 x − 3 . a) Etudier les variations de P.

b) Montrer que l’équation P(x) = 0 admet une unique solution α sur ¡ . Donner un encadrement de α à 0,01 près.

c) En déduire le signe de P sur ¡ .

2. On considère la fonction f définie sur I = ]1 ; +∞ [ par ( ) 2

23

3 1 f x x

x

= +

− . a) Déterminer les limites de f aux bornes de I.

b) Montrer que la fonction f est dérivable et que le signe de f ‘(x) est celui de P(x) sur I . Etudier les variations de f sur I et dresser son tableau de variations.

EXERCICE 2 ( 7 points )

On considère la suite ( u )

n

définie par u

0

= 0 et pour tout entier naturel n ,

1

2 3 4

n n

n

u u

+

u

= +

+ . a) Montrer que pour tout entier naturel n ,

1

5

2 4

n

n

u

+

= − u + .

b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul , 0 ≤ u

n

≤ 2 . c) On considère la suite ( v )

n

définie pour tout entier naturel n , par 1

3

n n

n

v u u

= −

+ . Montrer que la suite ( v )

n

est une suite géométrique de raison 1

5 dont on précisera le premier terme . d) Ecrire alors v

n

en fonction de n . Déterminer la limite de la suite ( v )

n

. e) Ecrire u

n

en fonction de n . Etudier la convergence de la suite ( u )

n

. EXERCICE 3 ( 7 points )

On considère la suite ( u )

n

définie par u

0

= 0 et pour tout entier naturel n ,

1

1

n

2

n

u

+

= u

− .

a) Calculer u

1

, u

2

, u

3

. On exprimera chacun de ces termes sous la forme d’une fraction irréductible.

b) Comparer les quatre premiers termes de la suite ( u )

n

avec ceux de la suite ( w )

n

définie sur IN par

n

1 w n

= n + . c) Démontrer que pour tout entier naturel n , u

n

= w

n

.

d) Montrer que la suite ( u

n

) est croissante.

e) Montrer que la suite ( u

n

) est bornée par 0 et 1 .

f) Déterminer le produit v

n

= u

1

x u

2

x … x u

n

sous la forme d’une fraction dépendant de n.

g) Déterminer la limite des suites ( u

n

) et ( v

n

) .

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