1. a. Montrer que

MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 9 pour le 20/01/20 5 janvier 2020

Problème 1.

Soit G , un groupe noté multiplicativement, d'élément neutre e dans lequel il existe deux éléments a et b , distincts et diérents de e vériant

aba = b On note H = {a ^j b ^k , (j, k) ∈ Z ² } .

1. a. Montrer que

∀j ∈ Z , a ^j b = ba ^−j b. Montrer que pour tous les entiers j et k dans Z :

∀(j, k) ∈ Z ² , a ^j b ^k = b ^k a ⁽⁻¹⁾

^j 2. Montrer que H est le sous-groupe de G engendré par a et b .

3. On suppose qu'il existe des entiers k et s strictements positifs tels que a ^k = e , b ^s = e

On note :

n = min{k ∈ N ^∗ , a ^k = e} , m = min{k ∈ N ^∗ , b ^k = e}

et on suppose que m et n sont premiers entre eux.

a. Montrer que, pour tout p dans Z, a ^p = e entraîne p multiple de n . b. Montrer que, pour tous entiers relatifs j et k :

a ^j = b ^k ⇒ j ∈ n Z et k ∈ m Z

c. Montrer que l'application

{0, · · · , n − 1} × {0, · · · , m − 1} → H (j, k) 7→ a ^j b ^k est bijective. Combien H contient-il d'éléments ?

4. Soit G le groupe des bijections de C dans C. Déterminer le cardinal du sous-groupe H de G engendré par les applications r et s dénies par :

∀z ∈ C , r(z) = jz , s(z) = ¯ z Interpréter géométriquement chaque élément de H .

Problème 2.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On désigne par C n−1 [X ] l'ensemble des polynômes à coecients complexes et de degré inférieur ou égal à n − 1 (y compris le polynôme nul).

On s'intéresse aux familles de n+1 nombres complexes deux à deux distincts (z 0 , z 1 , · · · , z n ) vériant la condition ( C ) :

∀P ∈ C n−1 [X] , P e (z ₀ ) = 1 n

P e (z ₁ ) + P e (z ₂ ) + · · · + P e (z _n )

( C )

Partie I

Soit w = e

. Montrer que (0, w ¹ , · · · , w ⁿ ) vérie la condition ( C ).

Partie II

Soit (z ₀ , z ₁ , · · · , z _n ) une famille de nombres complexes deux à deux distincts vériant la condition ( C ). On pose

Φ = Y

k∈ J 1,n K

(X − z k ); ∀i ∈ J 1, n K , P i = Y

k∈ J 1,n K \{i}

(X − z k ).

1. a. Montrer que ∀i ∈ J 1, n K, P e i (z 0 ) = _n ¹ P e i (z i ) . b. Exprimer Φ ⁰ en fonction des P i . Montrer que

∀i ∈ J 1, n K , n Φ(z e ₀ ) = (z ₀ − z _i )f Φ ⁰ (z _i ).

c. Montrer que

Φ = 1

n (X − z 0 )Φ ⁰ + Φ(z e 0 ) 2. On pose Ψ = Φ − Φ(z e 0 ) .

a. Montrer que z ₀ est une racine de Ψ . Quel est le coecient dominant de Ψ ? (question de cours) Rappeler la dénition de la multiplicité de z ₀ comme racine de Ψ , donner sans démonstration une autre caractérisation de cette multiplicité.

b. En utilisant la formule de Leibniz, former une relation entre Ψ ⁽ⁱ⁾ et Ψ ⁽ⁱ⁺¹⁾ pour i ∈ J 0, n − 1 K.

c. Calculer Ψ g ⁽ⁱ⁾ (z 0 ) pour i ∈ J 1, n − 1 K. Que peut-on en déduire pour Φ ?

3. Soit a ∈ C une racine n -ième de −e Φ(z 0 ) . Exprimer l'ensemble {z 1 , · · · , z n } à l'aide de z 0 , a et U n .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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