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Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On désigne par C

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Texte intégral

(1)

MPSI B 24 janvier 2020

Énoncé

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On désigne par C

n−1

[X ] l'ensemble des polynômes à coecients complexes et de degré inférieur ou égal à n − 1 (y compris le polynôme nul).

On s'intéresse aux familles de n+1 nombres complexes deux à deux distincts (z

0

, z

1

, · · · , z

n

) vériant la condition ( C ) :

∀P ∈ C

n−1

[X] , P(z e

0

) = 1 n

P e (z

1

) + P(z e

2

) + · · · + P e (z

n

)

( C )

Partie I

Soit w = e

2iπn

. Montrer que (0, w

1

, · · · , w

n

) vérie la condition ( C ).

Partie II

Soit (z

0

, z

1

, · · · , z

n

) une famille de nombres complexes deux à deux distincts vériant la condition ( C ). On pose

Φ = Y

k∈J1,nK

(X − z

k

); ∀i ∈ J 1, n K , P

i

= Y

k∈J1,nK\{i}

(X − z

k

).

1. a. Montrer que ∀i ∈ J 1, n K, P e

i

(z

0

) =

n1

P e

i

(z

i

) . b. Exprimer Φ

0

en fonction des P

i

. Montrer que

∀i ∈ J 1, n K , n Φ(z e

0

) = (z

0

− z

i

)f Φ

0

(z

i

).

c. Montrer que

Φ = 1

n (X − z

0

0

+ Φ(z e

0

) 2. On pose Ψ = Φ − Φ(z e

0

) .

a. Montrer que z

0

est une racine de Ψ . Quel est le coecient dominant de Ψ ? (question de cours) Rappeler la dénition de la multiplicité de z

0

comme racine de Ψ , donner sans démonstration une autre caractérisation de cette multiplicité.

b. En utilisant la formule de Leibniz, former une relation entre Ψ

(i)

et Ψ

(i+1)

pour i ∈ J 0, n − 1 K.

c. Calculer Ψ g

(i)

(z

0

) pour i ∈ J 1, n − 1 K. Que peut-on en déduire pour Φ ?

3. Soit a ∈ C une racine n -ième de −e Φ(z

0

) . Exprimer l'ensemble {z

1

, · · · , z

n

} à l'aide de z

0

, a et U

n

.

Corrigé Partie I

Rappelons que w = e

2iπn

, les autres valeurs de la famille sont w

2

, · · · , w

n

, avec en parti- culier w

n

= 1 . Pour tout polynôme P ∈ C

n−1

[X ] , considérons

S = P e (w

1

) + P(w e

2

) + · · · + P(w e

n

)

| {z }

=P(we 0)

=

n−1

X

k=0

P e (w

k

).

Considérons P ∈ C

n−1

[X] quelconque. Il s'écrit

P = a

0

+ a

1

X + · · · + a

n−1

X

n−1

=

n−1

X

j=0

a

j

X

j

.

avec a

0

, · · · , a

n

complexes. Ceci nous conduit à considérer pour j ∈ {0, · · · , n}

n−1

X

k=0

(w

k

)

j

=

 

 

 

 

 

 

n−1

X

k=0

1 = n si j = 0.

n−1

X

k=0

(w

j

)

k

= 1 − (w

j

)

n

1 − w

j

= 1 − (w

n

)

j

1 − w

j

= 0 si j ∈ J 1, n − 1 K . On en déduit :

S =

n−1

X

k=0

n−1

X

j=0

a

j

(w

k

)

j

 =

n−1

X

j=0

a

j n−1

X

k=0

(w

k

)

j

!

= na

0

= n P e (0).

car seul j = 0 contribue réellement à la somme. La famille (0, w

1

, · · · , w

n

) vérie (C) .

Partie II

1. a. Chaque P

i

est un polynôme de degré n − 1 . D'après la condition (C) : P e

i

(z

0

) = 1

n

P e

i

(z

1

) + P e

i

(z

2

) + · · · + P e

i

(z

n

) .

Or par dénition de P

i

, tous les P e

i

(z

k

) sont nuls sauf si k = i . C'est le seul cas où X − z

k

ne gure pas dans l'expression factorisée de P

i

. On en déduit

P e

i

(z

0

) = 1 n P e

i

(z

i

).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Apoly1

(2)

MPSI B 24 janvier 2020

b. Montrons que Φ

0

= P

1

+ · · · + P

n

.

Φ

0

= ((X − z

1

) [(X − z

2

) · · · (X − z

n

)])

0

= (X − z

2

) · · · (X − z

n

) + (X − z

1

) ((X − z

2

) · · · (X − z

n

))

0

= P

1

+ (X − z

1

) ((X − z

2

) [(X − z

3

) · · · (X − z

n

)])

0

= P

1

+ P

2

+ (X − z

1

)(X − z

2

) ((X − z

3

) · · · (X − z

n

))

0

...

= P

1

+ P

2

+ · · · + P

n

.

Pour i xé et k variable, tous les P e

k

(z

i

) sont nuls sauf P e

i

(z

i

), on a donc, en utilisant la première question,

f Φ

0

(z

i

) = P e

i

(z

i

) = n P e

i

(z

0

) = n Y

k∈J1,nK−\{i}

(z

0

− z

k

).

Quand on multiplie par (z

0

− z

i

) , on obtient exactement les mêmes facteurs que dans Φ(z e

0

) soit (z

0

− z

i

)f Φ

0

(z

0

) = ne Φ(z

0

) .

c. Considérons le polynôme Q = Φ −

n1

(X − z

0

0

− Φ(z e

0

) , il vérie Q(z e

0

) = 0 et

∀i ∈ {1, · · · , n} , Q(z e

i

) = Φ(z e

i

)

| {z }

=0

− 1

n (z

i

− z

0

)f Φ

0

(z

i

)

| {z }

=−nΦ(ze 0)

−e Φ(z

0

) = 0.

Le polynôme Q admet n + 1 racines distinctes avec deg(Q) ≤ n , donc Q est nul.

2. a. En substituant z

0

à X dans Ψ , on obtient

Ψ(z e

0

) = Φ(z e

0

) − Φ(z e

0

) = 0 ⇒ z

0

racine de Ψ.

Comme n ≥ 3 , le coecient dominant de Ψ est celui de Φ c'est à dire 1.

Par dénition, z

0

est une racine de Ψ de multiplicité m ∈ N

si et seulement si

∃Q ∈ C [X ] tq Ψ = (X − z

0

)

m

Q avec Q(z e

0

) 6= 0

⇔ Ψ g

(k)

(z

0

) =

( 0 si k ∈ J 0, m − 1 K 6= 0 si k = m . b. En posant Ψ = Φ − Φ(z e

0

) , la formule de 1.c. s'écrit encore

Ψ = 1

n (X − z

0

0

= 1

n (X − z

0

0

.

Dérivons i fois cette relation à l'aide de la formule de Leibniz. Les dérivées suc- cessives de (X − z

0

) sont nulles à partir de la 2

, il ne reste donc que deux termes

(i)

= [(X − z

0

0

]

(i)

= (X − z

0

)

(0)

Ψ

(i+1)

+ i(X − z

0

)

(1)

Ψ

0(i−1)

= (X − z

0

(i+1)

+ iΨ

(i)

⇒ (n − i)Ψ

(i)

= (X − z

0

(i+1)

. c. Substituons z

0

à X dans la formule précédente :

∀i ∈ J 1, n − 1 K , (n − i) Ψ g

(i)

(z

0

) = 0 ⇒ Ψ g

(i)

(z

0

) = 0.

Avec la caractérisation citée en a., on en déduit que z

0

est racine de multiplicité au moins n de Ψ . Comme deg Ψ = n , il existe un réel λ tel que Ψ = λ(X − z

0

)

n

. Comme le coecient dominant est 1 , on a en fait

Ψ = (X − z

0

)

n

.

3. D'après la question précédente et la dénition de a ,

Φ = (X − z

0

)

n

+ Φ(z e

0

) = (X − z

0

)

n

− a

n

.

Par dénition, les racines de Φ sont z

1

, · · · , z

n

. On en déduit que z

1

− z

0

, · · · , z

n

− z

0

sont les racines n -ièmes de −e Φ(z

0

) . On a donc :

{z

1

, · · · , z

n

} = z

0

+ a U

n

= {z

0

+ au avec u ∈ U

n

}

Les complexes z

1

, · · · , z

n

sont les sommets d'un polygône régulier de centre z

0

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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2

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