MPSI B 24 janvier 2020
Énoncé
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On désigne par C
n−1[X ] l'ensemble des polynômes à coecients complexes et de degré inférieur ou égal à n − 1 (y compris le polynôme nul).
On s'intéresse aux familles de n+1 nombres complexes deux à deux distincts (z
0, z
1, · · · , z
n) vériant la condition ( C ) :
∀P ∈ C
n−1[X] , P(z e
0) = 1 n
P e (z
1) + P(z e
2) + · · · + P e (z
n)
( C )
Partie I
Soit w = e
2iπn. Montrer que (0, w
1, · · · , w
n) vérie la condition ( C ).
Partie II
Soit (z
0, z
1, · · · , z
n) une famille de nombres complexes deux à deux distincts vériant la condition ( C ). On pose
Φ = Y
k∈J1,nK
(X − z
k); ∀i ∈ J 1, n K , P
i= Y
k∈J1,nK\{i}
(X − z
k).
1. a. Montrer que ∀i ∈ J 1, n K, P e
i(z
0) =
n1P e
i(z
i) . b. Exprimer Φ
0en fonction des P
i. Montrer que
∀i ∈ J 1, n K , n Φ(z e
0) = (z
0− z
i)f Φ
0(z
i).
c. Montrer que
Φ = 1
n (X − z
0)Φ
0+ Φ(z e
0) 2. On pose Ψ = Φ − Φ(z e
0) .
a. Montrer que z
0est une racine de Ψ . Quel est le coecient dominant de Ψ ? (question de cours) Rappeler la dénition de la multiplicité de z
0comme racine de Ψ , donner sans démonstration une autre caractérisation de cette multiplicité.
b. En utilisant la formule de Leibniz, former une relation entre Ψ
(i)et Ψ
(i+1)pour i ∈ J 0, n − 1 K.
c. Calculer Ψ g
(i)(z
0) pour i ∈ J 1, n − 1 K. Que peut-on en déduire pour Φ ?
3. Soit a ∈ C une racine n -ième de −e Φ(z
0) . Exprimer l'ensemble {z
1, · · · , z
n} à l'aide de z
0, a et U
n.
Corrigé Partie I
Rappelons que w = e
2iπn, les autres valeurs de la famille sont w
2, · · · , w
n, avec en parti- culier w
n= 1 . Pour tout polynôme P ∈ C
n−1[X ] , considérons
S = P e (w
1) + P(w e
2) + · · · + P(w e
n)
| {z }
=P(we 0)
=
n−1
X
k=0
P e (w
k).
Considérons P ∈ C
n−1[X] quelconque. Il s'écrit
P = a
0+ a
1X + · · · + a
n−1X
n−1=
n−1
X
j=0
a
jX
j.
avec a
0, · · · , a
ncomplexes. Ceci nous conduit à considérer pour j ∈ {0, · · · , n}
n−1
X
k=0
(w
k)
j=
n−1
X
k=0
1 = n si j = 0.
n−1
X
k=0
(w
j)
k= 1 − (w
j)
n1 − w
j= 1 − (w
n)
j1 − w
j= 0 si j ∈ J 1, n − 1 K . On en déduit :
S =
n−1
X
k=0
n−1
X
j=0
a
j(w
k)
j
=
n−1
X
j=0
a
j n−1X
k=0
(w
k)
j!
= na
0= n P e (0).
car seul j = 0 contribue réellement à la somme. La famille (0, w
1, · · · , w
n) vérie (C) .
Partie II
1. a. Chaque P
iest un polynôme de degré n − 1 . D'après la condition (C) : P e
i(z
0) = 1
n
P e
i(z
1) + P e
i(z
2) + · · · + P e
i(z
n) .
Or par dénition de P
i, tous les P e
i(z
k) sont nuls sauf si k = i . C'est le seul cas où X − z
kne gure pas dans l'expression factorisée de P
i. On en déduit
P e
i(z
0) = 1 n P e
i(z
i).
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Apoly1MPSI B 24 janvier 2020
b. Montrons que Φ
0= P
1+ · · · + P
n.
Φ
0= ((X − z
1) [(X − z
2) · · · (X − z
n)])
0= (X − z
2) · · · (X − z
n) + (X − z
1) ((X − z
2) · · · (X − z
n))
0= P
1+ (X − z
1) ((X − z
2) [(X − z
3) · · · (X − z
n)])
0= P
1+ P
2+ (X − z
1)(X − z
2) ((X − z
3) · · · (X − z
n))
0...
= P
1+ P
2+ · · · + P
n.
Pour i xé et k variable, tous les P e
k(z
i) sont nuls sauf P e
i(z
i), on a donc, en utilisant la première question,
f Φ
0(z
i) = P e
i(z
i) = n P e
i(z
0) = n Y
k∈J1,nK−\{i}
(z
0− z
k).
Quand on multiplie par (z
0− z
i) , on obtient exactement les mêmes facteurs que dans Φ(z e
0) soit (z
0− z
i)f Φ
0(z
0) = ne Φ(z
0) .
c. Considérons le polynôme Q = Φ −
n1(X − z
0)Φ
0− Φ(z e
0) , il vérie Q(z e
0) = 0 et
∀i ∈ {1, · · · , n} , Q(z e
i) = Φ(z e
i)
| {z }
=0
− 1
n (z
i− z
0)f Φ
0(z
i)
| {z }
=−nΦ(ze 0)
−e Φ(z
0) = 0.
Le polynôme Q admet n + 1 racines distinctes avec deg(Q) ≤ n , donc Q est nul.
2. a. En substituant z
0à X dans Ψ , on obtient
Ψ(z e
0) = Φ(z e
0) − Φ(z e
0) = 0 ⇒ z
0racine de Ψ.
Comme n ≥ 3 , le coecient dominant de Ψ est celui de Φ c'est à dire 1.
Par dénition, z
0est une racine de Ψ de multiplicité m ∈ N
∗si et seulement si
∃Q ∈ C [X ] tq Ψ = (X − z
0)
mQ avec Q(z e
0) 6= 0
⇔ Ψ g
(k)(z
0) =
( 0 si k ∈ J 0, m − 1 K 6= 0 si k = m . b. En posant Ψ = Φ − Φ(z e
0) , la formule de 1.c. s'écrit encore
Ψ = 1
n (X − z
0)Φ
0= 1
n (X − z
0)Ψ
0.
Dérivons i fois cette relation à l'aide de la formule de Leibniz. Les dérivées suc- cessives de (X − z
0) sont nulles à partir de la 2
◦, il ne reste donc que deux termes
nΨ
(i)= [(X − z
0)Φ
0]
(i)= (X − z
0)
(0)Ψ
(i+1)+ i(X − z
0)
(1)Ψ
0(i−1)= (X − z
0)Ψ
(i+1)+ iΨ
(i)⇒ (n − i)Ψ
(i)= (X − z
0)Ψ
(i+1). c. Substituons z
0à X dans la formule précédente :
∀i ∈ J 1, n − 1 K , (n − i) Ψ g
(i)(z
0) = 0 ⇒ Ψ g
(i)(z
0) = 0.
Avec la caractérisation citée en a., on en déduit que z
0est racine de multiplicité au moins n de Ψ . Comme deg Ψ = n , il existe un réel λ tel que Ψ = λ(X − z
0)
n. Comme le coecient dominant est 1 , on a en fait
Ψ = (X − z
0)
n.
3. D'après la question précédente et la dénition de a ,
Φ = (X − z
0)
n+ Φ(z e
0) = (X − z
0)
n− a
n.
Par dénition, les racines de Φ sont z
1, · · · , z
n. On en déduit que z
1− z
0, · · · , z
n− z
0sont les racines n -ièmes de −e Φ(z
0) . On a donc :
{z
1, · · · , z
n} = z
0+ a U
n= {z
0+ au avec u ∈ U
n}
Les complexes z
1, · · · , z
nsont les sommets d'un polygône régulier de centre z
0.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/