Pour n entier naturel supérieur ou égal 1 et θ réel, on pose

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Pour n entier naturel supérieur ou égal 1 et θ réel, on pose

D n (θ) =

n−1

X

k=−n+1

e ^ikθ F n (θ) = 1 n

n

X

j=1

D j (θ)

1. Sans chercher à calculer D n , montrer que

F _n (θ) =

n−1

X

k=−n+1

(1 − |k|

n )e ^ikθ

2. Pour θ 6∈ 2π Z, en calculant D _n (θ) à l'aide d'une somme de termes en progresssion géométrique, exprimer nF _n (θ) comme le carré d'un quotient de sinus. (ne pas chercher à utiliser la première question)

Corrigé

Pour n entier naturel supérieur ou égal 1 et θ réel, on pose

D n (θ) =

n−1

X

k=−n+1

e ^ikθ F n (θ) = 1 n

n

X

j=1

D j (θ)

1. Chaque D _j (θ) gurant dans F _n est une somme de e ^ikθ . Combien de fois obtient-on un e ^ikθ pour un k xé ?

Écrivons en ligne pour j = 1, 2, 3, · · · , n les k qui apparaissent dans F _n : -1 0 1 0

-2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 3

...

Il est clair que 0 gure n fois, 1 et -1 gurent n − 1 fois, 2 et -2 gurent n − 2 fois, ...

k et −k gurent n − k fois. On en déduit la relation demandée.

F _n (θ) =

n−1

X

k=−n+1

(1 − |k|

n )e ^ikθ

1

D'aprés CCMP 2001 2 eme épreuve

2. Il ne faut pas essayer d'utiliser la première question. Commençons par calculer D n en multipliant par e ^iθ − 1 . Il ne reste que les termes extrêmes :

(e ^iθ − 1)D n (θ) = e ^i(n)θ − e ^i(−n+1)θ ⇒ D n (θ) = sin(n − ¹ ₂ )θ sin ^θ ₂ Calculons ensuite P n

k=1 sin(n − ¹ ₂ )θ comme la partie imaginaire de e ⁱ⁽

⁾ + e ⁱ⁽

^+θ) + · · · + e ⁱ⁽⁻

^+nθ) = e ⁽

^+n)θ − e ⁱ

e ^iθ − 1 = sin ⁿ ₂ θ sin ^θ ₂ e ⁱ

^θ On en déduit nalement

F n (θ) = 1 n

n

X

k=0

D k (θ) = 1 n

sin ⁿ ₂ θ sin ^θ ₂

! ²

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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